О том, что Сергий Радонежский посвятит свою жизнь служению Богу, было решено еще до его рождения. Родители дали ему имя Варфоломей. С раннего детства он проявлял свою принадлежность к Высшим силам, например, в дни поста он отказывался от молока. После смерти родителей он постригся в монахи и назвался Сергием. Он считал, что его главная миссия – помогать людям. Молитвы святому используют верующие уже не один десяток лет. Они помогают людям справиться с разными проблемами и получить веру в себя.
В чем помогает молитва Сергею Радонежскому?
Огромное количество людей со всего мира приходит к мощам святого, чтобы попросить о помощи в разных ситуациях. В домашних условиях можно молиться перед иконой Сергия Радонежского. Читают молитву Сергию Радонежскому о помощи, чтобы усмирить свою гордыню, поскольку именно она считается одним из самых тяжелых грехов. Священнослужители говорят о том, что к Сергию можно обращаться с разными проблемами. Человек получается благодатный совет и наставления, а еще он помогает излечиться от разных заболеваний. Родители и сами ученики молятся Радонежскому об успехах в учебе.
Перед тем, как читать молитву преподобному Сергию Радонежскому рекомендуется сходить в и попросить благословение у священнослужителя. В церковной лавке приобретите свечу, икону, а еще возьмите святую воду и просфору. Дома перед образом зажгите свечу, преклоните колени и читайте молитву. Учтите, что на помощь могут рассчитывать только люди, которые усердно работают и делают многое, чтобы достичь желаемого. Если есть нечистые помыслы и дурные мысли, не стоит читать молитвы, поскольку желаемое не осуществится.
Молитва Сергию Радонежскому о помощи в учебе
С первого класса уже можно определить детей, которым учеба дается легко, а также тех для кого, это настоящая каторга. В таком случае родители могут помочь своему чаду изменить отношение к обучению и начать достигать определенных результатов. Кстати, Сергий Радонежский сам не любил в детстве читать, но искренняя молитва Богу изменила его отношение к обучению. Молитва помогает не только школьникам, но и студентам. Читать молитвенный текст может как ученик, так и его родители:
«О преподобне и богоносне отче наш Сергие! Воззри на нас (имена) милостивно и, к земли приверженных, возведи к высоте небесней. Укрепи наше малодушие и утверди нас в вере, да несомненно уповаем получити вся благая от благосердия Владыки Бога молитвами твоими. Испроси предстательством твоим всякий дар всем и коемуждо благопотребен и вся ны споспешествующими твоими молитвами сподоби в день Страшнаго суда шуия части избавитися, десныя же страны общники быти и блаженный оный глас Владыки Христа услышати: приидите, благословеннии Отца Моего, наследуйте уготованное вам Царствие от сложения мира. Аминь».
Молитва Сергию Радонежскому о помощи в работе
Если человек хочет найти хорошее место работы, которое бы не только давало прибыль, но и приносило удовольствие. Искренне молитвенное обращение позволит получить силы и невидимую поддержку для достижения желаемого. Молитва звучит так:
«О небеснаго гражданине Иерусалима, Преподобне отче Сергие! Воззри на нас милостиво и к земли приверженных возведи к высоте небесней. Ты горе, на Небеси; мы на земли, низу, удалены от тебе, не толико местом, елико грехами своими и беззакониями; но к тебе, яко нам сродному, прибегаем и взываем: настави нас ходити путем твоим, вразуми и руководствуй. Свойственно есть тебе, отче наш, благоутробие и человеколюбие: на земли живущу, не о своем токмо спасении бысть тебе попечение, но и о всех к тебе притекающих. Наставления твоя быша трость книжника скорописца, на сердце каждаго глаголы жизни начертавающая. Не телесныя токмо врачевал еси болезни, но паче душевных врач изящный явился еси, и вся твоя святая жизнь бысть зерцало всякия добродетели. Аще толик был еси, святче Божий, на земли: колик ныне еси, на Небеси! Ты днесь предстоиши Престолу Света Неприступнаго, и в нем, яко в зерцале, зриши вся наша нужды и прошения; ты водворяешися вкупе со Ангелы, о единем грешнице кающемся радующимися. И человеколюбие Божие есть неистощимо, и твое к Нему дерзновение много: не престани о нас вопия ко Господу. Испроси предстательством твоим у Всемилостиваго Бога нашего мир Церкви Его, под знамением Креста воинствующей, согласие в вере и единомудрие, суемудрия же и расколов истребление, утверждение во благих делех, больным исцеление, печальным утешение, обиженным заступление, бедствующим помощь. Не посрами нас, к тебе с верою притекающих. Аще бо и недостойни есмы толикаго отца и ходатая, но ты, подражатель быв человеколюбия Божия, сотвори ны достойны чрез обращение от злых дел к благому житию. Вся Богопросвещенная Россия, твоими чудесы исполненная и милостями облагодетельствованная, исповедает тя быти своего покровителя и заступника. Яви древния милости твоя, и ихже отцем вспомоществовал еси, не отрини и нас, чад их, стопами их к тебе шествующих. Веруем, яко духом нам соприсутствуеши. Идеже бо есть Господь, якоже слово Его учит нас, тамо и слуга Его будет. Ты верный еси раб Господень, и Богу везде сущу, ты в Нем еси, и Он в тебе есть, паче же и телом с нами еси. Се нетленныя и живоносныя твоя мощи, яко сокровище безценное, вручи нам чудес Бог. Предстояще им, яко тебе живу сущу, припадаем и молимся: приими моления наша и вознеси их на жертвенник благоутробия Божия, да приимем тобою благодать и благовременну в нуждах наших помощь. Укрепи нас, малодушных, и утверди нас в вере, да несомненно уповаем получити вся благая от благосердия Владыки молитвами твоими. Паству же твою духовную, тобою собранную, не престани управляти жезлом духовныя мудросте: подвизающимся помоги, разслабленныя возстави, споспеши иго Христово несть во благодушии и терпении, и всех нас управи в мире и покаянии скончати живот наш и преселитися со упованием в блаженная недра Авраамова, идеже ты радостно по трудех и подвизех ныне почиваеши, прославляя со всеми святыми Бога, в Троице славимаго, Отца, и Сына, и Святого Духа. Аминь.»
Память: 28 сентября (11 октября н. ст.), 18 / 31 января, 6 / 19 июля (Собор Радонежских святых), четверток Седмицы мытаря и фарисея
Кирилл и Мария были люди добрые и богоугодные. Говоря о них, блаженный Епифаний замечает, что Господь, благоволивший воссиять в земле Русской великому светильнику, не попустил родиться ему от неправедных родителей, ибо такому детищу, которое, по устроению Божию должно было впоследствии послужить духовной пользе и спасению многих, подобало иметь и родителей святых, дабы доброе произошло от доброго и лучшее приложилось к лучшему, дабы взаимно умножилась похвала и рожденного и самих родивших во славу Божию. И праведность их была известна не одному Богу, но и людям. Строгие блюстители всех уставов церковных, они помогали и бедным; но особенно свято хранили они заповедь Апостола: «страннолюбия не забывайте: тем бо не видяще неции странноприяша Ангелы» (Евр.13:2).
Тому же учили они и детей своих, строго внушая им не опускать случая позвать к себе в дом путешествующего инока или иного усталого странника. До нас не дошло подробных сведений о благочестивой жизни сей блаженной четы; за то мы можем, вместе с святителем Платоном, сказать, что «самый происшедший от них плод показал, лучше всяких красноречивых похвал, доброту благословенного древа. Счастливы родители, коих имена прославляются вечно в их детях и потомстве! Счастливы и дети, которые не только не посрамили, но и приумножили, и возвеличили честь и благородство своих родителей и славных предков, ибо истинное благородство состоит в добродетели!»
Кирилл и Мария имели уже сына Стефана, когда Бог даровал им другого сына - будущего основателя Троицкой Лавры, красу Церкви Православной и несокрушимую опору родной земли. Задолго до рождения сего святого младенца, дивный уже дал о нем знамение, что это будет великий избранник Божий и святая отрасль благословенного корня. В один воскресный день его благочестивая мать пришла в церковь к Божественной литургии и смиренно стала, по тогдашнему обычаю, в притворе церковном, вместе с прочими женами. Началась литургия; пропели уже Трисвятую песнь, и вот, не задолго пред чтением Святого Евангелия, вдруг, среди общей тишины и благоговейного молчания, младенец вскрикнул у нее во чреве, так что многие обратили внимание на этот крик. Когда же начали петь Херувимскую песнь, младенец вскрикнул в другой раз, и притом уже столь громко, что голос его был слышен по всей церкви. Между тем литургия продолжалась. Священник возгласил: «Вонмем! Святая Святым!» При этом возглашении младенец вскрикнул в третий раз, и смущенная мать едва не упала от страха: она начала плакать... Тут ее окружили женщины и, может быть, желая помочь ей успокоить плачущее дитя, стали спрашивать: «Где же у тебя младенец? От чего он кричит так громко?» Но Мария, в душевном волнении, обливаясь слезами, едва могла вымолвить им: «нет у меня младенца; спросите еще у кого-нибудь». Женщины стали озираться кругом, и не видя нигде младенца, снова пристали к Марии с тем же вопросом. Тогда она принуждена была сказать им откровенно, что на руках у нее, действительно, нет младенца, но она носит его во чреве...
По обычаю того времени, Кирилл должен был получить поместье, но сам он, по старости, уже не мог нести службы, и потому обязанность эту принял на себя старший сын его Стефан, который, вероятно, еще в Ростове, женился. Младший из сыновей Кирилла и Марии Петр также избрал супружескую жизнь. Варфоломей же и в Радонеже продолжал свои подвиги. Не раз он говорил отцу: «Отпусти меня, батюшка, с благословением, и я пойду в монастырь». «Помедли, чадо, - отвечал ему на это отец, - сам видишь: мы стали стары и немощны, послужить нам некому - у братьев твоих немало заботы о своих семьях. Мы радуемся, что ты печешься, како угодити Господу Богу, это - дело хорошее. Но верь, сын мой: твоя благая часть не отнимется у тебя, только послужи нам немного, пока Бог явит милость Свою над нами и возьмет нас отсюда. Вот, проводи нас в могилу, тогда уже никто не возбранит тебе исполнить свое заветное желание». Варфоломей не выходил из воли отеческой.
Но дух иночества нечувствительно сообщился от сына родителям: при конце своей многоскорбной жизни Кирилл и Мария пожелали и сами, по благочестивому обычаю древности, воспринять на себя ангельский образ. Верстах в трех от Радонежа был Покровский Хотьков монастырь, который состоял из двух отделений: одного - для старцев, другого - для стариц. В этот монастырь и направили свои стопы праведные родители Варфоломеевы, чтобы здесь провести остаток дней своих в подвиге покаяния и приготовления к другой жизни. Почти в тоже время умерла супруга и старшего сына Стефана. Похоронив ее в Хотьковском монастыре, Стефан не пожелал уже возвращаться в мир. Поручив детей своих, вероятно, Петру, он остался в Хотькове, принял монашеский постриг и стал ухаживать за своими немощными родителями. Впрочем, претружденные старостью и скорбями схимники-бояре недолго потрудились в своем новом звании: не позже 1339 года они с миром уже отошли ко Господу на вечный покой. Дети почтили их слезами сыновней любви и похоронили под сенью той же Покровской обители, которая с сего времени сделалась последним приютом и усыпальницею рода Сергиева.
Из поколения в поколение передавался завет преподобного Сергия о том, чтобы всякий, желающий посетить его обитель, сначала помолился у святых останков его родителей - праведных Кирилла и Марии - в Хотьковском монастыре.
В год 600-летия со времени преставления Преподобного Сергия (1992 г.) Архиерейский собор Русской Православной Церкви причислил преподобных местночтимых Радонежских святых - схимонаха Кирилла и схимонахиню Марию - к лику святых угодников Божиих для общецерковного почитания. Память преподобных Кирилла и Марии празднуется 28 сентября (11 октября н. ст.), 18 / 31 января, 6 / 19 июля (Собор Радонежских святых), а также в четверток Седмицы мытаря и фарисея.
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь \(\frac{4}{8}\)
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь \(\frac{1}{2}\)
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
\(\frac{4}{8} = \frac{1 \cdot \color{red} {4}}{2 \cdot \color{red} {4}} = \frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}} =\frac{1}{2} \cdot \color{red}{1} = \frac{1}{2}\)
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители \(\frac{1 \cdot \color{red} {4}}{2 \cdot \color{red} {4}}\), а потом разделили дроби \(\frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}}\). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей .
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
\(\frac{6}{10} = \frac{3 \cdot \color{red} {2}}{5 \cdot \color{red} {2}} = \frac{3}{5} \cdot \color{red} {\frac{2}{2}} =\frac{3}{5} \cdot \color{red}{1} = \frac{3}{5}\)
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}\)
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
\(\frac{6}{8} = \frac{6 \div \color{red} {2}}{8 \div \color{red} {2}} = \frac{3}{4}\)
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}\)
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями .
Пример сократимой дроби: \(\frac{2}{4}, \frac{6}{10}, \frac{9}{15}, \frac{10}{5}, …\)
Так же есть и несократимые дроби .
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{13}{5}, …\)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
\(7 = \frac{7}{1}\)
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: \(\frac{7}{11} = \frac{14}{22}\)?
Ответ: распишем дробь \(\frac{14}{22} = \frac{7 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{7}{11}\)
, да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби \(\frac{2}{3}\)
.
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби \(\frac{1}{5}\)
.
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{2}{3}\)
на 5.
\(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}\)
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{1}{5}\) на 8. Получим:
\(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}\)
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)\(\frac{16}{36}\),
б) \(\frac{10}{25}\)
.
Решение:
а) \(\frac{16}{36} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{9}\)
б) \(\frac{10}{25} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5}\)
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Решение:
а) \(13 = \frac{13} {1}\)
б) \(123 = \frac{123} {1}\)
Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Смысл сокращения алгебраической дроби
В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.
Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.
Определение 1
Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.
К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .
Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.
Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?
Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .
С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.
В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .
В дроби - x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.
Например, дробь x 3 - 1 x 2 - 1 мы можем сократить на х - 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.
Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.
Правило сокращения алгебраических дробей
Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:
- нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
- в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.
Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.
Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .
Характерные примеры
Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3 , 2 · x 3 - 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).
К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105
Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105
(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:
24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105
По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.
Пример 1
Задана алгебраическая дробь - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.
Решение
Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6
Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Ответ: - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6
Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).
Пример 2
Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.
Решение
Возможно сократить дробь таким образом:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2
Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:
2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .
Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2
Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.
Пример 3
Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.
Решение
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)
Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:
2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)
Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:
2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b
Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:
2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b
Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .
Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.
Пример 4
Дана алгебраическая дробь 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.
Решение
На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:
1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2
Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:
x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10
Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:
2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x
Ответ: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x .
Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
