Теория вероятностей на ЕГЭ по математике может быть представлена как в виде простых задач на классическое определение вероятности, так и в виде достаточно сложных, на применение соответствующих теорем.
В этой части рассмотрим задачи, для решения которых достаточно применения определения вероятности. Иногда здесь мы будем применять также формулу для вычисления вероятности противоположного события. Хотя без этой формулы здесь можно обойтись, она все равно понадобится при решении следующих задач.
Теоретическая часть
Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти (заранее предсказать невозможно) во время наблюдения или испытания.
Пусть при проведении испытания (бросание монеты или кубика, вытягивание экзаменационного билета и т. д.) возможны равновозможных исходов. Например, при подбрасывании монеты число всех исходов равно 2, так как кроме выпадения «решки» или «орла» других исходов быть не может. При броске игрального кубика возможны 6 исходов, так как на верхней грани кубика равновозможно появление любого из чисел от 1 до 6. Пусть также некоторому событию А благоприятствуют исходов.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу равновозможных исходов (это классическое определение вероятности). Пишем
Например, пусть событие А состоит в выпадении нечётного числа очков при бросании кубика. Всего возможны 6 исходов: выпадение на верхней грани кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом благоприятными для события А являются исходы с выпадением 1, 3, 5. Таким образом, 
.
Заметим, что всегда выполняется двойное неравенство , поэтому вероятность любого события А лежит на отрезке , то есть 
. Если у вас в ответе вероятность получается больше единицы, значит, вы где-то ошиблись и решение нужно перепроверить.
События А и В называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.
Например, при бросании кубика событие «выпало нечётное число» является противоположным событию «выпало чётное число».
Событие, противоположное событию А, обозначают. Из определения противоположных событий следует
, значит, 
.
Задачи о выборе объектов из набора
Задача 1. В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?
Общее число исходов равно числу карточек – их 24. Благоприятных исходов 6 (так как номер 3 написан на шести карточках). Искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,25.
Задача 2. В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
Общее число исходов равно числу шаров: 14 + 9 + 7 = 30. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 9. Искомая вероятность равна равна 
.
Задача 3. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и больше 5?
Исходом здесь является нажатие определённой клавиши, поэтому всего имеется 10 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют исходы, означающие нажатие клавиши 6 или 8. Таких исходов два. Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,2.
Задача 4 . Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на три?
На отрезке от 4 до 23 имеется 23 – 4 + 1 = 20 натуральных чисел, значит, всего возможны 20 исходов. На этом отрезке кратны трём следующие числа: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всего таких чисел 6, поэтому рассматриваемому событию благоприятствуют 6 исходов. Искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,3.
Задача 5. Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школьник может ответить только на 17. Какова вероятность того, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад билет?
1 -й способ.
Так как школьник может ответить на 17 билетов, то на 3 билета он ответить не может. Вероятность получить один из этих билетов по определению равна .
2-й способ.
Обозначим через А событие «школьник может ответить на билет». Тогда . Вероятность противоположного события равна =1 – 0,85 = 0,15.
Ответ: 0,15.
Задача 6 . В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20 спортсменок: 6 из России, 5 из Германии, остальные – из Франции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции.
Всего 20 спортсменок, у всех равные шансы выступать седьмой. Поэтому имеются 20 равновероятных исходов. Из Франции 20 – 6 – 5 = 9 спортсменок, поэтому имеются 9 благоприятных для указанного события исходов. Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,45.
Задача 7. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов – первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?
Сначала найдём, сколько докладов запланировано на последний день. На первые три дня запланировано докладов. Остаются ещё 50 – 36 = 14 докладов, которые распределяются поровну между оставшимися двумя днями, поэтому в последний день запланировано докладов.
Будем считать исходом порядковый номер доклада профессора Н. Всего таких равновозможных исходов 50. Благоприятствуют указанному событию 7 исходов (последние 7 номеров в списке докладов). Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,14.
Задача 8 . На борту самолёта 10 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста. Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру К. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
Исход в этой задаче – выбор места. Всего имеется 200 равновозможных исходов. Благоприятствуют событию «выбранное место удобное» 15 + 10 = 25 исходов. Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,125.
Задача 9 . Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованных. Эксперт проверяет одну наугад выбранную кофемолку из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемая кофемолка окажется бракованной.
При выборе кофемолки наугад возможны 1000 исходов, событию А «выбранная кофемолка бракованная» благоприятны 7 исходов. По определению вероятности .
Ответ: 0,007.
Задача 10. Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.
Эта задача похожа на предыдущую. Однако формулировка «на 100 качественных холодильников приходится 15 с дефектами» указывает нам, что дефектные 15 штук не входят в 100 качественных . Поэтому общее число исходов равно 100 + 15 =115 (равно общему числу холодильников), благоприятных исходов 100. Искомая вероятность равна . Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться делением уголком. Получаем 0,869…, что 0,87.
Ответ: 0,87.
Задача 11 . Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Как и в предыдущей задаче, необходимо внимательно прочитать условие и понять, что является исходом, а что – благоприятным исходом (так, неосмысленное применение формулы вероятности приводит к неправильному ответу ).
Здесь исход – это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16 – 1 = 15 равновероятных исходов. Благоприятный исход – соперник из России. Таких благоприятных исходов 7 – 1 = 6 (из числа россиян исключаем самого Максима). Искомая вероятность равна .
Ответ: 0,4.
Задача 12. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.
Сформируем команды, последовательно помещая футболистов на свободные места, при этом начнем с Антона и Дмитрия. Сначала поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь помещаем на свободное место Дмитрия (исходом будем считать выбор места для него). Всего имеется 32 свободных места (одно уже занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В одной команде с Антоном остается 10 свободных мест, поэтому событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благоприятствуют 10 исходов. Вероятность этого события равна 
.
Ответ: 0,3125.
Задача 13 . Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но не дойдя до отметки 2 часа.
Условно циферблат можно разделить на 12 секторов, располагающихся между отметками соседних чисел (между 12 и 1, 1 и 2, 2 и 3, …, 11 и 12). Исходом мы будем считать остановку часовой стрелки в одном из указанных секторов. Всего есть 12 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют три исхода (сектора между 11 и 12, 12 и 1, 1 и 2). Искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,25.
Подведем итог
После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram . Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму .
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник “Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей”. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
10/250=0,04
В классе 26 человек, среди них два близнеца - Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Спасибо! А вот ещё: в классе 21 шестиклассник, среди них два друга-Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найти вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной группе.
Представим себе, что Митя уже попал в какую-то группу. Тогда для Пети есть 6 "благоприятных" мест в этой группе, а всего у него 20 возможных мест (одно место занято Митей). р = 6: 20 = 0,3
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные - жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение
50-27=23- жёлтые с чёрными надписями
Р = 23/50=0,46
№ 320194
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
Решение
6/30 = 1/5 = 0,2
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51: 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,006.
Ответ: 0,006.
№ 320196
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение
Вообще то в задаче не все данные указаны, ведь возможно что диаметр подшипника будет ровно 66.99 или 67.01 , а вероятность наступления этого нам не дана. А если считать что это не возможно, то искомая вероятность 1-0.965=0.035
№ 320198
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Решение
Событие А – О решит больше 11 задач р(А)=0,67
Событие А 1 – О решит больше 10 задач р(А 1)=0,74
Событие А 2 – О решит ровно 11 задач р(А 2) = р(А 1) – р(А) = 0,74-0,67=0,07
№ 320199
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку - 0,8, по иностранному языку - 0,7 и по обществознанию - 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение:
События независимы, вероятности умножаются
Вероятность поступления на коммерцию = р(А)=р(м)*р(р)*р(ан)=0,6*0,8*0,7=0,336
Вероятность поступления на лингвистику = р(В)=р(м)*р(р)*р(об)=0,6*0,8*0,5=0,24
Вероятность поступления хотя бы на одну специальность = р(А)+р(В)=0,336+0,24=0,576
№ 320200
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Решение:
Вероятность, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект р(А)= 0,1*0,8=0,08
Вероятность, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефект 1-р(А)= 1-0,08=0,92
№ 320201
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение:
События независимы
0,3*0,3*0,3=0,027 (три множителя, т.к. три продавца)
№ 320202
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение
События независимы р= (1-0,8)(1-0,9)=0,02
№ 320203
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Решение
Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров р(А)=0,94
Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров р(А 1)=0,56
Вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 обозначим р(А 2)
р(А 2) = р(А) – р(А 1)=0,94-0,56=0,38
№ 320205
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Решение
Обозначим «Статор» начинает игру «+»
Начинает игру другая команда «-«
Статор играет с тремя командами
+++, ++-, +-+, -++, +--, --+, -+-, ---
Вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры р(А)= 1/8=0,125
№ 320206
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события: совершение преступления лицом, имеющим судимость, и лицом, ранее не привлекавшимся к уголовной ответственности, - обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.
Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами.
Случай называется благоприятствующим {благоприятным) событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е.
где Р(А) - вероятность события А; т - число случаев, благоприятствующих событию А;п - общее число случаев.
Пример 12.3. В РУВД работают 120 человек, 41 из них имеют только высшее образование, 53 - только среднее специальное образование, а 26 - и высшее, и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет высшее образование?
Решение. Общее количество возможных исходов п = 120. Пусть событие Л - выбор сотрудника с высшим образованием. Число исходов, благоприятствующих событию Л, т = 4 1+26 = 67.
Тогда по определению вероятности: Р(А) = 67/120 = 0,5583.
Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный сотрудник РУВД имеет высшее образование, равно 0,5583.
Пример 12.4. В избирательной компании па пост мэра участвуют три женщины и пять мужчин. Предположим, что выбор каждого из кандидатов - события равиовозможные. Какова вероятность того, что будет избран мужчина?
Решение. По определению вероятности: Р{А) = 5/8 = 0,625.
Следовательно, вероятность того, что выбранный мэр будет мужчиной, равна 0,624.
Пример 12.5. При бросании игральной кости возможно шесть исходов - выпадение 1, 2,3,4,5, б очков. Какова вероятность появления четного числа очков?
Решение. Все п = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны. Событию А - «появление четного числа очков» благоприятствуют три исхода - 2, 4 и б очков. По формуле (12.1): Р(А) = 3/6 = 1/2.
Отметим свойства вероятности события.
1. Вероятность любого случайного события заключена между нулем и единицей, т.е.
- 2. Вероятность достоверного события равна единице.
- 3. Вероятность невозможного события равна нулю. Перечисленные свойства очевидны, так как Р(А) = т/п,
а число т благоприятствующих случаев для любого события удовлетворяет неравенству 0 т для достоверного события т = п, а для невозможного события т = 0.
Сложение вероятностей. Сформулируем теорему (правило) сложения вероятностей.
Теорема 12.1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий :
Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа п попарно несовместных событий:
Следствие 1. Сумма вероятностей п событий , образующих полную группу , равна единице :
Если события А, Л 2 , Л 3 , ..., А„ образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.
Так как события A Л 2 , Л 3 ,..., А п единственно возможные, то событие А + Л 2 + Л 3 + ... + А п, состоящее в появлении в результате испытания хотя бы одного из этих событий, является достоверным, т.е. его вероятность равна единице:
В силу того, что события Л), А 2 , Л 3 ,..., А п - несовместные, к ним применима теорема сложения (12.3), т.е.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице :
Утверждение (12.6) следует из того, что противоположные события образуют полную группу.
Пример 12.6. В первом туре на выборах в президенты от блока правых сил заявлены два кандидата: Иванов и Сидоров. Вероятность выбора президентом Иванова равна 0,35, Сидорова - 0,4. Найти вероятность того, что:
- а) в первом туре будет избран кандидат от блока правых сил;
- б) в первом туре будет либо избран кандидат от другой партии, либо в нервом туре не будет избран ни один кандидат.
Решение. Пусть события А, В - выборы президентом Иванова, Петрова соответственно. А событие С - выбор в первом туре кандидата от блока правых сил. По условию Р(А) = 0,35, Р(В) = 0,4.
- а) Очевидно, что С = А + В, где А и В - несовместные события. По теореме сложения Р(С) = Р(А) + Р(В), откуда Р(С) = = 0,35 + 0,4 = 0,75.
- б) Событие, заключающиеся в том, что в первом туре будет либо избран кандидат от другой партии, либо в первом туре не будет избран ни один кандидат, является противоположным событию С (выбору кандидата от блока правых сил). Следовательно, так как
Следует еще раз подчеркнуть, что рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий и по- пытка ее использования для совместных событий приводит к неверным и даже абсурдным результатам. Например, пусть вероятность вынесения оправдательного приговора для каждого из 100 дел, находящихся в судопроизводстве, равна 0,1, т.е. P(A t) =0,1 (г = 1,2,..., 100). Тогда, применяя теорему сложения, получим, что вероятность вынесения оправдательного приговора хотя бы по одному из 100 дел определяется следующим образом:
Полученный результат является абсурдным, так как вероятность любого события не может быть больше единицы. Объясняется это тем, что в данном случае теорема сложения вероятностей неприменима, ибо вынесение оправдательного приговора для каждого из 100 рассматриваемых в суде дел, т.е. события А { , A ..., являются событиями совместными.
Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.
Полезные материалы
Видеоразборы задач
За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.
На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке "Вход". Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Подборка задач
- В кармане у Миши было четыре конфеты -- "Грильяж", "Белочка", "Коровка" и "Ласточка", а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета "Грильяж".
- В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 -- из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
- Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
- В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
- Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов -- первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
- В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
- Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
- Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
- В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй -- решка.
- В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
- В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
- В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
- На рок-фестивале выступают группы -- по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
- В классе 26 человек, среди них два близнеца -- Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
- В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
- Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
- Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
- В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
- Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события "гарантийный ремонт" от его вероятности в этом городе?
- При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
- Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
- Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Физик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Физик" выиграет жребий ровно два раза.
- Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Статор" по очереди играет с командами "Ротор", "Мотор" и "Стартер". Найдите вероятность того, что "Статор" будет начинать только первую и последнюю игры.
- В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
- По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
- Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
- Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
- На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему "Вписанная окружность", равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему "Параллелограмм", равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
- Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
- Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
- Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
- Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей -- 1 очко, если проигрывает -- 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
- В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
- В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
- Чтобы поступить в институт на специальность "Лингвистика", абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов -- математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность "Коммерция", нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов -- математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку -- 0,8, по иностранному языку -- 0,7 и по обществознанию -- 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
- При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем -- 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Ответ: 0,7157
2.
3.
4. номер не делится на 5
Решение: P(A) = m/n; m=1/
Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72
Ответ: 1/72
Решение: P(A)=m/n
а) P(A)=6/36 =1/6
Решение: C m n = n! / m!(n-m)!
m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35
P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44
б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>
С 3 5 способами.
P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44
Ответ:
Решение:
Ответ: 0,3.
Решение:
A – выход из лабиринта.
P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта
P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта
Ответ: 1/3; 2/5
9.
10.
11. .
Решение:
Решение:
P(A/H3)=8/10=4/5;
P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45
13.
Решение:
Пусть B ни одного попадания
P(C)= 1 - 0,216 = 0,784
Ответ: 0,784
Решение:
H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3
Ответ: 15/48 = 0,3125
16.
Решение:
17.
Решение:
P(H2/A)=0,7/1,6=0,42
Решение:
Ответ: P(A) = 0,925
Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятность того, что они есть в библиотеке равны 0,4; 0,5; 0,1; а того, что они выданы или нет – равновероятные события. Какова вероятность того, что нужна книга найдена.
Решение: A-книга есть в библиотеке, B – книга не выдана.
P(B) = P(B -) = ½
P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1
Определим вероятность того, что нужная книга найдена:
P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½
Ответ: 1/2
23. Найти вероятности того, что дни рождения 12 человек прийдутся на разные месяцы года.
Решение: P(A)= m/n
n = --- A 12 = 12 12
P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5*1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7
Ответ: 1925/12 7
24. В урне имеется 10 белых, 5 черных и 15 красных шаров. Извлекается последовательно 2 шара. Рассматриваются 2 события А - хотя бы один шар из двух вынутых красный, В - хотя бы один вынутый шар белый. Найти вероятность события С = А + В.
25. Наудачу набранный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры в нем различны.
26. В магазин трикотажных изделий поступили носки, 60% которых получено от одной фабрики, 25% - другой и 15% - третьей. Найти вероятность того, что купленные покупателем носки изготовлены на второй или третьей фабрике.
Решение. A1-от 1 фабрики, P(A1) = 0,6;
А2 –от 2 фабрики; P(A2) = 0,25
A3 – от 3 фабрики; P(A3) = 0,15
P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4
Ответ: 0,4
Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в 1ую кассу составляет 0,4; во 2ую 0,35; и 3ью 0,25. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут проданы, равна для 1ой кассы 0,3; для 2ой 0,4, для 3ей 0,6. Найти вероятность того, что пассажир купит билет.
P(A) –вероятность не купить билет.
P(A) =0,4*0,3 + 0,35*0,4 + 0,25*0,6 =
0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41
P(A1) – вероятность купить билет = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.
Ответ: P(A1) = 0,59.
28. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной появится 2 очка, б) на них выпадет по одинаковому числу очков.
Решение: 
29. Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами, выбирается 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров покажет возрастание значений цифр.
Решение:
30. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Какова вероятность того, что выиграет хотя бы один билет из трех купленных?
31. Из полной колоды карт(52 листа) вынимают сразу 4 карты. Найти вероятность того, что все эти карты будут разным мастей.
Решение: Вероятность вытащить конкретную масть равна C 1 13
C 1 13 = 13(количество возможных способов).
Возможность вытащить карты из 52 = C 4 52 = 52! / 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 /270725 = 0,1054982
Ответ: P(A) = 0,1054982.
32. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.
Решение:
Ответ: 0,9125
52. Какова вероятность получения 1 туза, туза и короля при сдаче 6 карт из колоды в 52 карты?
Машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 5 из них имели неисправность ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность того, что машина с неисправной ходовой частью имеет также неисправный мотор.
Решение:
11111111 8 с неисправным мотором
5 с неипр ходов частью 11111 1111111111 10 исправны
11111111111111111111 всего 20
3 с неиспр мотор и ход часть111
P = m/n m-кол-во машин с неисправной ходовой частью и неисправным мотором; m=3
n – кол-во машин с неисправной ходовой частью; n=5
P = 3/5 – вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет неисправный мотор.
Ответ: 3/5
Ответ: 21/625; 219/625; 247/625
67. В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6-1.Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Определить вероятность того, что а)оба исправны, б)хотя бы один исправен, в) только один исправен
a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8
б)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24
в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3
68. В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат: а) двое мужчин и одна женщина; б) только женщины; в) хотя бы один мужчина.
Решение: а) A-1 мужчина
B- 2 мужчины
С- 1 женщина
P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18
P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154
б) A-1 женщина
B-2 женщины
С-3 женщины
P(A) = 8/20 ; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18
P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049
в) A-хотя бы 1 мужчина
A все женщины
P(A)=1- P(--- A)
P(--- A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049
69. Из 25 работников, предприятия 10 имеют высшее образование: Определить вероятность того, что из случайно отобранных трех человек высшее образование имеют; а) три человека; б) один человек; в) хотя бы один человек.
Решение:
70. На карточках написаны буквы «К», «А», «Р», «Т», «О», «Ч», «К», «А». Карточки перемешивают и кладут в порядке их вытаскивания. Какова вероятность того, что получится: а) слово «КАРТОЧКА»; б) слово «КАРТА»; в) слово «ТОК».
71. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3 изделия. Определить вероятность того, что: а) одно из них повышенного качества; б) все три изделия повышенного качества; в) хотя бы одно изделие повышенного качества.
Решение:
72. Бросается три игральных кости. Какова вероятность того, что: а) хотя бы на одной из них появится 5 очков; б) на всех выпадут нечетные цифры; в) на всех костях выпадут одинаковые цифры
73. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар извлеченный после этого из первого ящика - черный.
74. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а)Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии.
Решение:
75. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и третьей по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из третьей урны?
Решение: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.
P(A) – вероятность вытащить белый шар.
Если выбирается 1ая урна P(A/H1) = 3/5
2ая P(A/H2) = 4/7
3я P(A/H3) = 4/7
P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21
P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3
Ответ: 1/3
76. Семена для посева в хозяйство поступают из трех семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства 90%, второго 85%, третьего 95%. а) Определить вероятность того, что наудачу "взятое семя не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно получено от второго хозяйства?
77. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из 20 студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов, 5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.
Решение: H1-выбор студента который выучил все, H2 – выбор студента, который выучил 25 вопросов, H3 – выбор студента, который выучил 20 вопросов, H4 – выбор студента, который выучил 10 вопросов.
P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-те кто выучил все вопросы, n- все студенты.
P(H2) = 6/20 = 3/10
P(H3) = 5/20 = ¼
P(A/H1) = 1 – Вероятность того, что студент, который выучил всё,ответил на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.
P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – вероятность того, что студент ответит на 2 вопроса билета из выученных им 25 вопросов.
P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – вероятность того, что студент, который выучил 20 вопросов ответит на 2 вопроса билета.
P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – вероятность того, что студент, который выучил 10 вопросов, ответит на 2 вопроса билета.
Используя формулу полной вероятности найдем вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на 2 вопроса билета:
P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) + P(H4) P(A/H4)
P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6
Ответ: 5/6
78. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки 99%, необработанных 85%. А) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? Б) Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того,что оно выращено из обработанного семени?
Решение : H1-обработанные семена, H2 – необработанные семена, A – семя взошло.
95% + 5% = 100% => P(H1) = 0,95 ; P(H2) = 0,05
P(A/H1) = 0,99 –веротность того,что случайно взятое семя взойдет,если оно обработано.
P(A/H2) = 0,85 – Вероятность того,что случайно взятое семя взойдет, если оно необработанно.
А) по формуле полной вероятности найдем вероятность, что случайно взятое семя взойдет:
P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)
P(A) = 0,95* 0,99 + 0,05*0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983
Ответ: 0,983
79. В магазин поступают телевизоры четырех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из - строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?
80. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, втором 0,6 и третьем 0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его во втором магазине.
Ответ: 0,7157
2.
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго 0,85,
третьего 0,95. Найти вероятность того, что а) откажут два станка, б) все три станка будут работать безотказно,в) хотя бы один станок откажет в работе.
3. Из колоды содержащей 52 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что это тройка, семёрка и туз.
4. Найти вероятность того, что абонемент наберет правильный двухзначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5
Решение: P(A) = m/n; m=1/
Посчитаем общее количество двухзначных чисел. Оно равно 90 и вычтем из этих чисел те которые делятся на 5 (10,15,20,25…90,95). Их количество равно 18 => n=90-18=72
Ответ: 1/72
5. Игральная кость подброшена 2 раза: а) Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях составит 7.б)найти вероятность того, что хотя бы 2 очка появится при одном подбрасывание.
Решение: P(A)=m/n
а) P(A)=6/36 =1/6
б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36
6. В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что а)все три шара будут красными, б)три шара красными или черными.
Решение: C m n = n! / m!(n-m)!
C 3 12 = 220 - вариантов вытащить три шара.
а) Вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами.
m = C 3 7 = 7! / 3!*4! = 35
P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44
б) вытащить 3 красных из 7 можно C 3 7 способами, и 3 черных из 5 =>
С 3 5 способами.
m = C 3 7 + С 3 5 = 35 + 5! / 3!*2! = 35 + 10 = 45
P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44
Ответ: а) P(A) = 7/44 ; б) P (A2) = 9/44
В группе из 15 человек 6 человек занимаются спортом. Найти вероятность того, что из случайно отобранных 7 человек 5 человек занимаются спортом.
Решение: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7!*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = (5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0,03
Ответ: 0,3.
Мышь может выбрать наугад один из 5 лабиринтов. Известно, что вероятность ее выхода из различных лабиринтов за 3 минута равны 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта за 3 минуты. Какова вероятность того, что она выбрала первый лабиринт? Второй лабиринт?
Решение: Изначально вероятности выбора лабиринта мышью равны:
P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – вероятность выбора 1,2,3,4,5 лабиринт соответственно.
A – выход из лабиринта.
P(A/H1) = 0,5 – Вероятность выхода мыши из 1 лабиринта
P(A/H2) = 0,6 – из 2 лабиринта.
P(A/H3) =0,2 –из 3 лабиринта
P(A/H4) = 0,1 –из 4 лабиринта
P(A/H5) = 0,1 – из 5 лабиринта
По формуле полной вероятности:
P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)
P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0,5+0,6+0,2+0,1+0,1)=1/5*1,5=1,5*3/2 = 3/10 –вероятность выхода мыши из лабиринта за 3 минуты.
А)Найдем вероятность того,что мышь выбрала первый лабиринт(по формуле Бэйеса):
P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /(3/10) = 1/10*10/3 = 1/3
Б) Найдем вероятность того,что мышь выбрала второй лабиринт(по формуле Бэйеса)
P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25* 10/3 = 10/25 = 2/5
Ответ: 1/3; 2/5
9. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что из 5 билетов выигрышным является один.
10. В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Статистик» выигрывает в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре они выиграли некоторую игру.Какова вероятность, что в тот день: а) шел дождь; б) был ясный день.
11. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,5, третьим -0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.
Решение:
В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 25 стандартных, в третьем 10 деталей, из них 8 стандартных. Из случайно взятого ящика наудачу взята одна деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она взята из второго ящика.
Решение: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;
P(A/H3)=8/10=4/5;
P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45
P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39
13.
На каждой из пяти одинаковых карточек написана одна из следующих букв: А, Е, Н, С, Т. Карточки
перемешаны. Определить вероятность того, что из вынутых и положенных в ряд карточек а) можно составить
слово «СТЕНА», б) из трех карточек можно составить слово «НЕТ».
Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,46, второго 0,6.
Решение:
Пусть B ни одного попадания
A1 – попадания при 1-ом выстреле.
А2 – попадание при 2-ом выстреле.
P(B) = -- А1 - А2 = 0,54* 0,4 = 0,216
Тогда С - хотя бы одно попадание.
P(C)= 1 - 0,216 = 0,784
Ответ: 0,784
Имеется 3 урны. В первой урне 6 черных и 4 белых, во второй 5 белых и 5 черных, в третьей 7 белых и 3 черных. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что выбрана вторая урна.
Решение:
H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3
P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10
P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30
P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48
Ответ: 15/48 = 0,3125
16. Монета подбрасывается 3 раза. Найти вероятность того, что герб появится: а) все 3 раза, б) только один раз, в)хотя бы один раз
Решение:
17. На отдельных карточках написаны цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки перемешиваются, после чего наугад берут 5 карточек и раскладывают их в ряд. Определить вероятность того, что будет получено число 1 2 0 3 5. (Задачу решить, используя определение вероятности события и теоремы теории вероятностей)
Три известных экономиста одновременно предложили свои теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле в соответствии с первой теорией равна 0,5; со второй – 0,7; с третьей – 0,4. Каким образом это изменят вероятности правильности трех теорий.
Решение:
P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4
P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+
1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533
P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.
P(H2/A)=0,7/1,6=0,42
В Магазине продается 4 магнитофона. Вероятность того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый найдачу магнитофон выдержит гарантийный срок.
Решение: Вероятность покупки 1магнитофон –1/4 ; 2 – 1/4; 3 – 1/4 ; 4 –1/4.
P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925
Ответ: P(A) = 0,925
