Сережа а ты знаешь что такое просак. Что такое попасть впросак? Смотреть что такое "Просак" в других словарях

Шар - это геометрическое тело вращения, образованное путем вращения круга или полукруга вокруг его диаметра. Также шар - это пространство, ограниченное сферической поверхностью. Существует множество реальных сферических объектов и связанных с ними задач, для решения которых требуется определить объем шара.

Шар и сфера

Круг - самая древняя геометрическая фигура, и античные ученые придавали ей сакральное значение. Круг - это символ нескончаемого времени и пространства, символ Вселенной и бытия. По мнению Пифагора, круг - прекраснейшая из фигур. В трехмерном пространстве окружность превращается в сферу, такую же идеальную, космическую и прекрасную, как и круг.

Сфера по-древнегречески означает «мяч». Сфера представляет собой поверхность, образованную бесконечным множеством точек, равноудаленных от центра фигуры. Пространство, ограниченное сферой, и есть шар. Шар - идеальная геометрическая фигура, форму которой принимают многие реальные объекты. К примеру, в реальной жизни форму шара имеют пушечные ядра, подшипники или мячи, в природе - капли воды, кроны деревьев или ягоды, в космосе - звезды, метеоры или планеты.

Объем шара

Определение объема сферической фигуры - сложная задача, ведь такое геометрическое тело нельзя разбить на кубы или треугольные призмы, формулы объемов которых уже известны. Современная наука позволяет вычислить объем шара при помощи определенного интеграла, однако каким образом была выведена формула объема в Древней Греции, когда об интегралах еще никто не слышал? Архимед вычислил объем шара при помощи конуса и цилиндра, так как формулы объемов этих фигур были уже определены древнегреческим философом и математиком Демокритом.

Архимед представил половину шара при помощи одинаковых конуса и цилиндра, при этом радиус каждой фигуры был равен ее высоте R = h. Античный ученый представил конус и цилиндр разбитыми на бесконечное количество маленьких цилиндров. Архимед понял, что если из объема цилиндра Vc вычесть объем конуса Vk, он получит объем одной полусферы Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Объем конуса вычисляется по простой формуле:

Vk = 1/3 × So × h,

но зная, что So в данном случае - это площадь круга, а h = R, то формула трансформируется в:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

Vc = pi × R 2 × h,

но считая, что высота цилиндра равна его радиусу, мы получаем:

Vc = pi × R 3 .

Используя эти формулы, Архимед получил:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 или Vsh = 4/3 pi × R 3

Современное определение формулы объема шара выводится из интеграла от площади сферической поверхности, однако результат остается все тем же

Vsh = 4/3 pi × R 3

Расчет объема шара может понадобиться как в реальной жизни, так и при решении абстрактных задач. Для вычисления объема шара при помощи онлайн-калькулятора вам понадобится узнать всего один параметр на выбор: диаметр или радиус сферы. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Пушечные ядра

Допустим, вы хотите узнать, сколько чугуна необходимо для отливки пушечного ядра шестифутового калибра. Вы знаете, что диаметр такого ядра составляет 9,6 сантиметров. Введите это число в ячейку калькулятора «Диаметр», и вы получите ответ в виде

Таким образом, для выплавки пушечного ядра заданного калибра вам понадобится 463 кубических сантиметров или 0,463 литра чугуна.

Воздушные шары

Пусть вам любопытно, сколько воздуха необходимо для накачки воздушного шара идеальной сферической формы. Вы знаете, что радиус выбранного шарика составляет 10 см. Вбейте это значение в ячейку калькулятора «Радиус» и вы получите результат

Это означает, что для накачки одного такого шара вам понадобится 4188 кубических сантиметров или 4,18 литров воздуха.

Заключение

Необходимость определения объема шара может возникнуть в самых разных ситуациях: от абстрактных школьных задач до научных изысканий и производственных вопросов. Для решения вопросов любой сложности используйте наш онлайн-калькулятор, который мгновенно представит вам точный результат и необходимые математические выкладки.

Радиус шара (обозначается как r или R) – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае круга, радиус шара является важной величиной, которая необходима для нахождения диаметра шара, длины окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по данному значению диаметра, длины окружности и другой величины. Используйте формулу, в которую можно подставить данные значения.

Шаги

Формулы для вычисления радиуса

Вычислите радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу г = D/2 . Эта такая же формула, которая используется при вычислении радиуса и диаметра круга.

• Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см . Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).

1. Вычислите радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π . Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу для вычисления длины окружности на 2π и получите формулу для нахождения радиуса.

   • Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см .
   • Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.

2. Вычислите радиус по объему шара. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3 . Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr 3 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4)) 3 = г, то есть для вычисления радиуса объем шара делим на π, результат умножаем на 3/4, а полученный результат возводим в степень 1/3 (или извлекаем кубический корень).

   • Например, дан шар с объемом 100 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 см = r

3. Вычислите радиус по площади поверхности. Используйте формулу: г = √(A/(4 π)) . Площадь поверхности шара вычисляется по формуле А = 4πr 2 . Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу √(A/(4π)) = r, то есть, чтобы вычислить радиус, нужно извлечь квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо того чтобы извлекать корень, выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.

   • Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см = r

   Определение основных величин

   1. Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.

      Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.

   Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками

   1. Найдите координаты (х,у,z) центра шара. Радиус шара равен расстоянию между его центром и любой точкой, лежащей на поверхности шара. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что так как шар является трехмерной фигурой, то точка будет иметь три координаты (х,у,z), а не две (х,у).

      • Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12) . Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.

   2. Найдите координаты точки, лежащей на поверхности шара. Теперь нужно найти координаты (х,у,z) любой точки, лежащей на поверхности шара. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара, для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.

      • В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0) . Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.

   3. Вычислите радиус по формуле d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, вы можете найти расстояние между ними, которое равно радиусу шара. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), где d – расстояние между точками, (x 1 ,y 1 ,z 1) – координаты центра шара, (x 2 ,y 2 ,z 2) – координаты точки, лежащей на поверхности шара.

      • В рассматриваемом примере вместо (x 1 ,y 1 ,z 1) подставьте (4,-1,12), а вместо (x 2 ,y 2 ,z 2) подставьте (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69 . Это искомый радиус шара.

   4. Имейте в виду, что в общих случаях r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле для нахождения расстояния между двумя точками "d" заменить на "r", получится формула для вычисления радиуса шара по известным координатам (x 1 ,y 1 ,z 1) центра шара и координатам (x 2 ,y 2 ,z 2) любой точки, лежащей на поверхности шара.

      • Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром с координатами (0,0,0).
   • Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
   • В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
   • π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.