В механике часто возникает вопрос, в каких положениях тело, на которое действует сила тяжести, может сколь угодно долго оставаться в покое, если оно находилось в покое в начальный момент. Очевидно, для этого силы, действующие на тело, должны взаимно уравновешиваться. Положения, в которых силы, действующие на тело, взаимно уравновешиваются, называют положениями равновесия.
Но практически не во всяком положении равновесия тело, находившееся в начальный момент в покое, действительно будет оставаться в покое и в последующее время.
Дело в том, что в реальных условиях, помимо учитываемых нами сил (сила тяжести, сила реакции подвеса, опоры, оси и т. п.), на тело действуют и неучитываемые случайные неустранимые силы: небольшие сотрясения, колебания воздуха и т. д. Под действием таких сил тело будет хотя бы немного отклоняться от положения равновесия, а в этом случае дальнейшее поведение тела может быть различным.
При отклонении тела от положения равновесия силы, действующие на него, как правило, изменится и равновесие сил нарушится. Изменившиеся силы будут вызывать движение тела. Если эти силы таковы, что под их действием тело возвращается к положению равновесия, то тело, несмотря на случайные толчки, будет все же оставаться вблизи положения равновесия. В этом случае мы говорим об устойчивом равновесии тела. В других случаях изменившиеся силы таковы, что они вызывают дальнейшее отклонение тела от положения равновесия. Тогда будет достаточно самого малого толчка, чтобы изменившиеся силы стали все более отклонять тело от положения равновесия; тело уже не будет оставаться вблизи положения равновесия, а уйдет от него. Такое положение равновесия называют неустойчивым.
Итак, для устойчивости необходимо, чтобы при отклонении тела от положения равновесия возникали силы, возвращающие тело к первоначальному положению. Таково, например, положение шарика на вогнутой подставке (рис. 131, а): при отклонении шарика от положения равновесия (самое нижнее положение) равнодействующая силы реакции подставки и силы тяжести возвращает шарик к положению равновесия: равновесие устойчивое. В случае же выпуклой подставки (рис. 131, б) равнодействующая удаляет шарик от положения равновесия (самое верхнее положение): равновесие неустойчивое.
Рис. 131. Устойчивое (а), неустойчивое (б) и безразличное (в) равновесие шарика на поверхности
Другим примером может служить равновесие тела, подвешенного в одной точке. Определяя положение центра тяжести по способу подвешивания, описанному в предыдущем параграфе, мы всегда обнаружим, что центр тяжести лежит ниже точки подвеса и обязательно на одной вертикали с ней, так как иначе сила натяжения нити не могла бы уравновесить силу тяжести (рис. 132, а). Между тем сила тяжести и сила натяжения нити могут уравновесить друг друга также и в том случае, когда центр тяжести лежит на вертикали над точкой подвеса (рис. 132, б). Действительно, и в этом случае сила тяжести и равная ей по модулю сила натяжения нити уравновешивали бы друг друга. Однако, как легко убедиться на опыте, при подвешивании тела оно не будет оставаться в этом втором положении равновесия. Хотя оба случая соответствуют положениям равновесия, но практически можно осуществить только один из них - первый.
Рис. 132. а) Положение равновесия при центре тяжести , расположенном ниже точки подвеса . б) Положение равновесия при центре тяжести , расположенном выше точки подвеса . в) При отклонении тела из положения а) сила тяжести создает момент, возвращающий тело в положение равновесия. г) При отклонении тела из положения б) сила тяжести создает момент, удаляющий тело от положения равновесия
Причина этого в том, что если тело немного отклонить от первого положения (рис. 132, в), то сила тяжести создаст вращающий момент относительно точки подвеса, который будет возвращать тело обратно. Это - положение устойчивого равновесия. Наоборот, при отклонении тела от второго положения равновесия (рис. 132, г) сила будет удалять его от этого положения. Это - положение неустойчивого равновесия. Встречаются и промежуточные случаи равновесия: если шарик лежит на горизонтальной опоре, то смещение шарика вообще не нарушает равновесия, так как сила тяжести и сила, действующая со стороны плоскости, уравновешивают друг друга при любом положении шарика. Такое равновесие мы называем безразличным (рис. 131, е).
Другой пример безразличного равновесия - тело, закрепленное на горизонтальной или наклонной оси, проходящей через центр тяжести этого тела. При повороте такого тела вокруг оси момент силы тяжести относительно оси все время остается равным нулю (сила тяжести проходит через ось вращения), и тело остается в равновесии в любом положении. Этим пользуются для проверки правильности изготовления колес, якорей генераторов электрического тока и т. д. В точно изготовленном колесе центр тяжести должен лежать на оси. Поэтому точно сделанное колесо, ось которого может вращаться в подшипниках, должно оставаться в равновесии при любом повороте оси. Если оно само возвращается все время в какое-то одно положение, то это указывает, что колесо не сбалансировано, т. е. центр тяжести его не лежит точно на оси.
Тело, закрепленное на вертикальной оси, всегда находится в безразличном равновесии под действием силы тяжести, независимо от того, проходит ось через центр тяжести или нет.
82.1. Испытайте, в каком положении равновесия устанавливается переднее велосипедное колесо, если велосипед приподнять. Что надо сделать для того, чтобы колесо находилось в состоянии безразличного равновесия?
78. Виды равновесия: угол устойчивости, условия сохранения равновесия тела.
В физических упражнениях человеку нередко необходимо сохранять неподвижное положение тела, например, исходные положения (стартовые), конечные положения (фиксирование штанги после ее поднятия), промежуточные (упор углом на кольцах). Во всех таких случаях тело человека как биомеханическая система находится в равновесии. В равновесии могут находиться и тела, связанные с сохраняющим положение человеком (например, штанга, партнер в акробатике). Чтобы сохранить положение тела, человек должен находиться в равновесии. Положение тела определяется его позой, его ориентацией и местоположением в пространстве, а также отношением к опоре. Следовательно, для сохранения положения тела человеку нужно фиксировать позу и не допускать, чтобы приложенные силы изменили позу и переместили его тело с данного места в каком-либо направлении или вызвали его поворот относительно опоры.
Силы уравновешиваемые при сохранении положения
К биомеханической системе приложены силы тяжести, опорной реакции, веса и мышечной тяги партнера или противника и другие, которые могут быть и возмущающими, и уравновешивающими силами в зависимости от положения звеньев тела относительно их опоры.
Во всех случаях, когда человек сохраняет положение, находится в равновесии изменяемая система тел (не абсолютно твердое тело или материальная точка).
В условиях занятий физическими упражнениями при сохранении положения к телу человека чаще всего приложены силы тяжести его тела и веса других тел, а также силы реакции опоры, препятствующие свободному падению. Без участия мышечных тяг сохраняются только пассивные положения (например, положения лежа на полу, на воде).
При активных положениях система взаимно подвижных тел (звеньев тела) благодаря напряжениям мышц как бы отвердевает, становится подобной единому твердому телу; мышцы человека своей статической работой обеспечивают сохранение и позы, и положения в пространстве. Значит, в активных положениях для сохранения равновесия к силам внешним добавляются внутренние силы мышечной тяги.
Все внешние силы делят на возмущающие (опрокидывающие, отклоняющие) , которые направлены на изменение положения тела, и уравновешивающие , которыми уравновешивается действие возмущающих сил. Силы мышечной тяги чаще всего служат силами уравновешивающими. Но в определенных условиях они могут быть и силами возмущающими, т. е. направленными на изменение и позы и расположения тела в пространстве.
Условия равновесия системы тел
Для равновесия тела человека (системы тел) необходимо, чтобы главный вектор и главный момент внешних сил были равны нулю, а все внутренние силы обеспечивали сохранение позы (формы системы).
Если главный вектор и главный момент равны нулю, тело не сдвинется и не повернется, его линейное и угловое ускорения равны нулю. Для системы тел эти условия также необходимы, но уже недостаточны. Равновесие тела человека как системы тел требует еще сохранения позы тела. Когда мышцы достаточно сильны и человек умеет использовать их силу, он удержится в очень трудном положении. А менее сильному человеку такой позы не удержать, хотя по расположению и величине внешних сил равновесие возможно. У разных людей существуют свои предельные позы, которые они еще в состоянии сохранять.
Виды равновесия твердого тела
Вид равновесия твердого тела определяется по действию силы тяжести в случае сколь угодно малого отклонения: а) безразличное равновесие - действие силы тяжести не изменяется; б) устойчивое - оно всегда возвращает тело в прежнее положение (возникает момент устойчивости); в) неустойчивое - действие силы тяжести всегда вызывает опрокидывание тела (возникает момент опрокидывания); г) ограниченно-устойчивое - до потенциального барьера положение тела восстанавливается (возникает момент устойчивости), после него тело опрокидывается (возникает момент опрокидывания).
В механике твердого тела различают три вида равновесия: безразличное, устойчивое и неустойчивое. Эти виды различаются по поведению тела, незначительно отклоняемого от уравновешенного положения. Когда тело человека полностью сохраняет позу («отвердение»), к нему применимы законы равновесия твердого тела.
Безразличное равновесие характерно тем, что при любых отклонениях сохраняется равновесие. Шар, цилиндр, круговой конус на горизонтальной плоскости (нижняя опора) можно повернуть как угодно, и они останутся в покое. Линия действия силы тяжести (G) в таком теле (линия тяжести) всегда проходит через точку опоры, совпадает с линией действия силы опорной реакции (R); они уравновешивают друг друга. В спортивной технике безразличного равновесия ни на суше, ни в воде практически не встречается.
Устойчивое равновесие характерно возвратом в прежнее положение при любом отклонении. Оно устойчиво при сколь угодно малом отклонении по двум причинам; а) центр тяжести тела поднимается выше (h), создается запас потенциальной энергии в поле земного тяготения; б) линия тяжести (G) не проходит через опору, появляется плечо силы тяжести (d) и возникает момент силы тяжести (момент устойчивости Муст = Gd), возвращающий тело (с уменьшением потенциальной энергии) в прежнее положение. Такое равновесие встречается у человека при верхней опоре. Например, гимнаст в висе на кольцах; рука, свободно висящая в плечевом суставе. Сила тяжести тела сама возвращает тело в прежнее положение.
Неустойчивое равновесие характерно тем, что сколь угодно малое отклонение вызывает еще большее отклонение и тело само в прежнее положение вернуться не может. Таково положение при нижней опоре, когда тело имеет точку или линию (ребро тела) опоры. При отклонении тела: а) центр тяжести опускается ниже (- h), убывает потенциальная энергия в поле земного тяготения; б) линия тяжести (G) с отклонением тела удаляется от точки опоры, увеличиваются плечо (d) и момент силы тяжести (момент опрокидывания Мопр. = Gd); он все дальше отклоняет тело от прежнего положения. Неустойчивое равновесие в природе практически почти не осуществимо.
В физических упражнениях чаще всего встречается еще один вид равновесия, когда имеется площадь опоры, расположенная внизу (нижняя опора). При незначительном отклонении тела центр его тяжести поднимается (+ h) и появляется момент устойчивости (Mуст = Gd). Налицо признаки устойчивого равновесия; момент силы тяжести тела вернет его в прежнее положение. Но это продолжается лишь при отклонении до определенных границ, пока линия тяжести не дойдет до края площади опоры. В этом положении уже возникают условия неустойчивого равновесия: при дальнейшем отклонении тело опрокидывается; при малейшем отклонении в обратную сторону - возвращается в прежнее положение. Границе площади опоры соответствует вершина «потенциального барьера» (максимум потенциальной энергии). В пределах между противоположными барьерами («потенциальная яма») во всех направлениях осуществляется ограниченно-устойчивое равновесие.
Устойчивость объекта характеризуется его способностью, противодействуя нарушению равновесия, сохранять положение. Различают статические показатели устойчивости как способность сопротивляться нарушению равновесия и динамические как способность восстановить равновесие.
Статическим показателем устойчивости твердого тела служит (в ограниченно-устойчивом равновесии) коэффициент устойчивости. Он равен отношению предельного момента устойчивости к моменту опрокидывающему. Когда коэффициент устойчивости покоящегося тела равен единице и больше нее, опрокидывания нет. Если же он меньше единицы, равновесие не может быть сохранено. Однако сопротивление только этих двух механических факторов (двух моментов сил) для системы тел, если она может изменять конфигурацию, не исчерпывает действительной картины. Следовательно, коэффициент устойчивости тела и зафиксированной системы тел характеризует статическую устойчивость как способность сопротивляться нарушению равновесия. У человека при определении устойчивости всегда надо еще учитывать активное противодействие мышечных тяг и готовность к сопротивлению.
Динамическим показателем устойчивости твердого тела служит угол устойчивости. Это угол, образованный линией действия силы тяжести и прямой, соединяющей центр тяжести с соответствующим краем площади опоры. Физический смысл угла устойчивости состоит в том, что он равен углу поворота, на который надо повернуть тело для начала его опрокидывания. Угол устойчивости показывает, в каких пределах еще восстанавливается равновесие. Он характеризует степень динамической устойчивости: если угол больше, то и устойчивость больше. Этот показатель удобен для сравнения степени устойчивости одного тела в разных направлениях (если площадь опоры не круг и линия силы тяжести не проходит через его центр).
Сумма двух углов устойчивости в одной плоскости рассматривается как угол равновесия в этой плоскости. Он характеризует запас устойчивости в данной плоскости, т. е. определяет размах перемещений центра тяжести до возможного опрокидывания в ту или другую сторону (например, у слаломиста при спуске на лыжах, гимнастки на бревне, борца в стойке).
В случае равновесия биомеханической системы для применения динамических показателей устойчивости нужно учесть существенные уточнения.
Во-первых, площадь эффективной опоры человека не всегда совпадает с поверхностью опоры. У человека, как и у твердого тела, поверхность опоры ограничена линиями, соединяющими крайние точки опоры (или внешние края нескольких площадей опоры). Но у человека часто граница площади эффективной опоры расположена внутри контура опоры, так как мягкие ткани (стопа босиком) или слабые звенья (концевые фаланги пальцев в стойке на руках на полу) не могут уравновесить нагрузку. Поэтому линия опрокидывания смещается кнутри от края опорной поверхности, площадь эффективной опоры меньше площади опорной поверхности.
Во-вторых, человек никогда не отклоняется всем телом относительно линии опрокидывания (как кубик), а перемещается относительно осей каких-либо суставов, не сохраняя полностью позы (например, при положении стоя -движения в голеностопных суставах).
В-третьих, при приближении к граничному положению нередко становится трудно сохранить позу и наступает не просто опрокидывание «отвердевшего тела» вокруг линии опрокидывания, а изменение позы с падением. Это существенно отличается от отклонения и опрокидывания твердого тела вокруг грани опрокидывания (кантование).
Таким образом, углы устойчивости в ограниченно-устойчивом равновесии характеризуют динамическую устойчивость как способность восстановить равновесие. При определении устойчивости тела человека необходимо также учитывать границы площади эффективной опоры, надежность сохранения позы до граничного положения тела и реальную линию опрокидывания.
Определение
Если тело находится в состоянии покоя относительно инерциальной системы отсчета, то считают, что оно находится в равновесии .
Условия равновесия изучает раздел физики, который называют статикой.
Условия равновесия тела
Первое условие равновесия можно сформулировать исходя, из второго закона Ньютона: тело может находиться в состоянии покоя в некоторой инерциальной системе отсчета только, если равнодействующая всех сил, приложенных к этому телу (материальной точке) равна нулю:
\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0\left(1\right).}\]
Выражение (1) называют необходимым условием равновесия тела.
Если тело не подходит под определение материальной точки, то первого условия равновесия недостаточно.
Если тело может вращаться около некоторой оси, то оно находится в состоянии равновесия, если сумма моментов всех действующих на него сил относительно любой оси вращения равна нулю:
\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{M}}_i=0\left(2\right).}\]
Второе условие равновесия называют правилом моментов сил. $\ $\textit{}
Выше названные условия являются достаточными для того, чтобы тело считать находящимся в равновесии.
Виды равновесия
Равновесие можно разделить на: устойчивое, неустойчивое и безразличное.
Равновесие тела называют устойчивым, если при небольших смещениях, действующие на него силы, стремятся вернуть его снова в положение равновесия.
Положение равновесия называют неустойчивым, если при малых смещениях силы, оказывающие воздействие на тело уводят его из положения равновесия еще больше.
Если при небольших смещениях из положения равновесия силы, действующие на тело и их моменты, уравновешиваются, как и прежде, то такое равновесие называют безразличным.
В устойчивом положении равновесия центр тяжести занимает самое низкое положение в сравнении со всеми возможными соседними положениями тела.
1) Допустим, что тело может вращаться около закрепленной оси. Тело находится в положении равновесия, если ось проходит через центр масс тела (безразличное равновесие). Если центр тяжести тела находится ниже оси вращения, то положение равновесия тела будет устойчивым. Пусть ось вращения расположена ниже центра масс тела, то равновесие будет неустойчивым.
2) В том случае, если тело имеет точку опоры (например, шарик, лежащий на опоре), то тело находится в состоянии устойчивого равновесия, когда равнодействующая всех сил, приложенных к телу, направлена в сторону положения равновесия. Если равнодействующая равна нулю, то положение равновесия безразличное. Положение тела будет не устойчивым равновесием, если равнодействующая сил, приложенных к телу, направлена от положения равновесия.
3) Пусть тело имеет площадь опоры. Тогда его равновесие будет устойчивым, если вертикаль, проводимая через центр масс этого тела, пересечет площадь опоры.
Потенциальная энергия и устойчивое равновесие
Как было сказано тело может находиться в состоянии равновесия только, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Следовательно, равновесию соответствует точка минимума (M) или максимума (N) потенциальной энергии ($E_p$), так как в этих точках сила становится равной нулю. Но, следует заметить, что точки максимума и минимума энергии не являются равноценными (рис.1).
Если частица находится в точке с минимумом потенциальной энергии, ее координата на рис.1 $x_M$. На участке $x_1\le x\le x_M$ потенциальная энергия убывает, значит, на частицу действует положительная сила отталкивания, которая возвращает частицу в точку М.
На отрезке $x_M\le x\le x_2$ энергия $E_p$ увеличивается, на частицу оказывает воздействие отрицательная сила притяжения, которая снова возвращает тело в точку M.
Получается, что если частицу, находящуюся в точке с минимумом потенциальной энергии вывести из положения равновесия, то под действием сил она будет возвращаться назад в эту точку. Можно сделать следующий вывод: условием устойчивого равновесия является минимальная величина потенциальной энергии.
Если провести рассуждения, которые аналогичны тем, что были выше, получим, что точка N, точка максимума потенциальной энергии - это точка неустойчивого равновесия.
Анализируя условия равновесия, следует рассматривать окрестность точки поля ближайшую к ней, где нет дополнительных экстремумов энергии. Проводя анализ сил, действующих на частицу, которую смещали вправо от т М ($x_2>x_M$) мы считали, то на частицу действуют силы притяжения. Это справедливо тогда, когда частица находится левее максимума энергии. Если частица перемещена дальше вправо, то мы получаем силу отталкивания и частица не вернется в прежнее положение.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Величина силы, действующей на материальную точку, движущейся по оси X, задана уравнением: $F=-Ax\ (где\ A>0).$ Считая систему консервативной, укажите на потенциальной кривой точку устойчивого равновесия тела.
Решение. Для того чтобы определить форму потенциальной кривой найдем зависимость потенциальной энергии от координаты материальной точки ($E_p(x)$). Для этого используем формулу связи между потенциальной энергией и консервативной силой:
Подставим в подынтегральное выражение уравнение $F=-Ax$, которое задает нашу силу:
Графиком $E_p(x)$ , будет парабола (рис.2). Минимум потенциальной энергии будет находиться в точке $E_p\left(x=0\right)=С.$
Ответ. Точка С на рис.2 - положение устойчивого равновесия.
Пример 2
Задание. Будет ли равновесие шарика, подвешенного на нити устойчивым (рис.3)?
Решение. Точку подвеса шарика 0 можно рассматривать как ось вращения. Цент масс шарика находится ниже оси вращения, следовательно, равновесие системы в точке А будет устойчивым. Если шарик сместить из точки A в точку B, то на него будут действовать силы, которые возвращают его в положение А (равнодействующая сил $\overline{F}$).
Ответ. Равновесие устойчиво.
Для того чтобы судить о поведении тела в реальных условиях, мало знать, что оно находится в равновесии. Надо еще оценить это равновесие. Различают устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.
Равновесие тела называют устойчивым , если при отклонении от него возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (рис. 1 положение 2). В устойчивом равновесии центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений. Положение устойчивого равновесия связано с минимумом потенциальной энергии по отношению ко всем близким соседним положениям тела.
Равновесие тела называют неустойчивым , если при самом незначительном отклонении от него равнодействующая действующих на тело сил вызывает дальнейшее отклонение тела от положения равновесия (рис. 1 положение 1). В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести максимальна и потенциальная энергия максимальна по отношению к другим близким положениям тела.
Равновесие, при котором смещение тела в любом направлении не вызывает изменения действующих на него сил и равновесие тела сохраняется, называют безразличным (рис. 1 положение 3).
Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний, и высота центра тяжести одинакова во всех достаточно близких положениях.
Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке 2), находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, проходит через ось вращения. Причем если центр тяжести С выше оси вращения (рис. 2,1), то при любом отклонении от положения равновесия потенциальная энергия уменьшается и момент силы тяжести относительно оси О отклоняет тело дальше от положения равновесия. Это неустойчивое положение равновесия. Если центр тяжести находится ниже оси вращения (рис. 2,2), то равновесие устойчивое. Если центр тяжести и ось вращения совпадают (рис. 2,3), то положение равновесия безразличное.
Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела не выходит за пределы площади опоры этого тела, т.е. за пределы контура образованного точками соприкосновения тела с опорой Равновесие в этом случае зависит не только от расстояния между центром тяжести и опорой (т.е. от его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли), но и от расположения и размеров площади опоры этого тела.
На рисунке 2 изображено тело, имеющее форму цилиндра. Если его наклонить на малый угол, то оно возвратится в исходное положение 1 или 2. Если же его отклонить на угол (положение 3), то тело опрокинется. При заданной массе и площади опоры устойчивость тела тем выше, чем ниже расположен его центр тяжести, т.е. чем меньше угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью.
