78. Виды равновесия: угол устойчивости, условия сохранения равновесия тела.
В физических упражнениях человеку нередко необходимо сохранять неподвижное положение тела, например, исходные положения (стартовые), конечные положения (фиксирование штанги после ее поднятия), промежуточные (упор углом на кольцах). Во всех таких случаях тело человека как биомеханическая система находится в равновесии. В равновесии могут находиться и тела, связанные с сохраняющим положение человеком (например, штанга, партнер в акробатике). Чтобы сохранить положение тела, человек должен находиться в равновесии. Положение тела определяется его позой, его ориентацией и местоположением в пространстве, а также отношением к опоре. Следовательно, для сохранения положения тела человеку нужно фиксировать позу и не допускать, чтобы приложенные силы изменили позу и переместили его тело с данного места в каком-либо направлении или вызвали его поворот относительно опоры.
Силы уравновешиваемые при сохранении положения
К биомеханической системе приложены силы тяжести, опорной реакции, веса и мышечной тяги партнера или противника и другие, которые могут быть и возмущающими, и уравновешивающими силами в зависимости от положения звеньев тела относительно их опоры.
Во всех случаях, когда человек сохраняет положение, находится в равновесии изменяемая система тел (не абсолютно твердое тело или материальная точка).
В условиях занятий физическими упражнениями при сохранении положения к телу человека чаще всего приложены силы тяжести его тела и веса других тел, а также силы реакции опоры, препятствующие свободному падению. Без участия мышечных тяг сохраняются только пассивные положения (например, положения лежа на полу, на воде).
При активных положениях система взаимно подвижных тел (звеньев тела) благодаря напряжениям мышц как бы отвердевает, становится подобной единому твердому телу; мышцы человека своей статической работой обеспечивают сохранение и позы, и положения в пространстве. Значит, в активных положениях для сохранения равновесия к силам внешним добавляются внутренние силы мышечной тяги.
Все внешние силы делят на возмущающие (опрокидывающие, отклоняющие) , которые направлены на изменение положения тела, и уравновешивающие , которыми уравновешивается действие возмущающих сил. Силы мышечной тяги чаще всего служат силами уравновешивающими. Но в определенных условиях они могут быть и силами возмущающими, т. е. направленными на изменение и позы и расположения тела в пространстве.
Условия равновесия системы тел
Для равновесия тела человека (системы тел) необходимо, чтобы главный вектор и главный момент внешних сил были равны нулю, а все внутренние силы обеспечивали сохранение позы (формы системы).
Если главный вектор и главный момент равны нулю, тело не сдвинется и не повернется, его линейное и угловое ускорения равны нулю. Для системы тел эти условия также необходимы, но уже недостаточны. Равновесие тела человека как системы тел требует еще сохранения позы тела. Когда мышцы достаточно сильны и человек умеет использовать их силу, он удержится в очень трудном положении. А менее сильному человеку такой позы не удержать, хотя по расположению и величине внешних сил равновесие возможно. У разных людей существуют свои предельные позы, которые они еще в состоянии сохранять.
Виды равновесия твердого тела
Вид равновесия твердого тела определяется по действию силы тяжести в случае сколь угодно малого отклонения: а) безразличное равновесие - действие силы тяжести не изменяется; б) устойчивое - оно всегда возвращает тело в прежнее положение (возникает момент устойчивости); в) неустойчивое - действие силы тяжести всегда вызывает опрокидывание тела (возникает момент опрокидывания); г) ограниченно-устойчивое - до потенциального барьера положение тела восстанавливается (возникает момент устойчивости), после него тело опрокидывается (возникает момент опрокидывания).
В механике твердого тела различают три вида равновесия: безразличное, устойчивое и неустойчивое. Эти виды различаются по поведению тела, незначительно отклоняемого от уравновешенного положения. Когда тело человека полностью сохраняет позу («отвердение»), к нему применимы законы равновесия твердого тела.
Безразличное равновесие характерно тем, что при любых отклонениях сохраняется равновесие. Шар, цилиндр, круговой конус на горизонтальной плоскости (нижняя опора) можно повернуть как угодно, и они останутся в покое. Линия действия силы тяжести (G) в таком теле (линия тяжести) всегда проходит через точку опоры, совпадает с линией действия силы опорной реакции (R); они уравновешивают друг друга. В спортивной технике безразличного равновесия ни на суше, ни в воде практически не встречается.
Устойчивое равновесие характерно возвратом в прежнее положение при любом отклонении. Оно устойчиво при сколь угодно малом отклонении по двум причинам; а) центр тяжести тела поднимается выше (h), создается запас потенциальной энергии в поле земного тяготения; б) линия тяжести (G) не проходит через опору, появляется плечо силы тяжести (d) и возникает момент силы тяжести (момент устойчивости Муст = Gd), возвращающий тело (с уменьшением потенциальной энергии) в прежнее положение. Такое равновесие встречается у человека при верхней опоре. Например, гимнаст в висе на кольцах; рука, свободно висящая в плечевом суставе. Сила тяжести тела сама возвращает тело в прежнее положение.
Неустойчивое равновесие характерно тем, что сколь угодно малое отклонение вызывает еще большее отклонение и тело само в прежнее положение вернуться не может. Таково положение при нижней опоре, когда тело имеет точку или линию (ребро тела) опоры. При отклонении тела: а) центр тяжести опускается ниже (- h), убывает потенциальная энергия в поле земного тяготения; б) линия тяжести (G) с отклонением тела удаляется от точки опоры, увеличиваются плечо (d) и момент силы тяжести (момент опрокидывания Мопр. = Gd); он все дальше отклоняет тело от прежнего положения. Неустойчивое равновесие в природе практически почти не осуществимо.
В физических упражнениях чаще всего встречается еще один вид равновесия, когда имеется площадь опоры, расположенная внизу (нижняя опора). При незначительном отклонении тела центр его тяжести поднимается (+ h) и появляется момент устойчивости (Mуст = Gd). Налицо признаки устойчивого равновесия; момент силы тяжести тела вернет его в прежнее положение. Но это продолжается лишь при отклонении до определенных границ, пока линия тяжести не дойдет до края площади опоры. В этом положении уже возникают условия неустойчивого равновесия: при дальнейшем отклонении тело опрокидывается; при малейшем отклонении в обратную сторону - возвращается в прежнее положение. Границе площади опоры соответствует вершина «потенциального барьера» (максимум потенциальной энергии). В пределах между противоположными барьерами («потенциальная яма») во всех направлениях осуществляется ограниченно-устойчивое равновесие.
Устойчивость объекта характеризуется его способностью, противодействуя нарушению равновесия, сохранять положение. Различают статические показатели устойчивости как способность сопротивляться нарушению равновесия и динамические как способность восстановить равновесие.
Статическим показателем устойчивости твердого тела служит (в ограниченно-устойчивом равновесии) коэффициент устойчивости. Он равен отношению предельного момента устойчивости к моменту опрокидывающему. Когда коэффициент устойчивости покоящегося тела равен единице и больше нее, опрокидывания нет. Если же он меньше единицы, равновесие не может быть сохранено. Однако сопротивление только этих двух механических факторов (двух моментов сил) для системы тел, если она может изменять конфигурацию, не исчерпывает действительной картины. Следовательно, коэффициент устойчивости тела и зафиксированной системы тел характеризует статическую устойчивость как способность сопротивляться нарушению равновесия. У человека при определении устойчивости всегда надо еще учитывать активное противодействие мышечных тяг и готовность к сопротивлению.
Динамическим показателем устойчивости твердого тела служит угол устойчивости. Это угол, образованный линией действия силы тяжести и прямой, соединяющей центр тяжести с соответствующим краем площади опоры. Физический смысл угла устойчивости состоит в том, что он равен углу поворота, на который надо повернуть тело для начала его опрокидывания. Угол устойчивости показывает, в каких пределах еще восстанавливается равновесие. Он характеризует степень динамической устойчивости: если угол больше, то и устойчивость больше. Этот показатель удобен для сравнения степени устойчивости одного тела в разных направлениях (если площадь опоры не круг и линия силы тяжести не проходит через его центр).
Сумма двух углов устойчивости в одной плоскости рассматривается как угол равновесия в этой плоскости. Он характеризует запас устойчивости в данной плоскости, т. е. определяет размах перемещений центра тяжести до возможного опрокидывания в ту или другую сторону (например, у слаломиста при спуске на лыжах, гимнастки на бревне, борца в стойке).
В случае равновесия биомеханической системы для применения динамических показателей устойчивости нужно учесть существенные уточнения.
Во-первых, площадь эффективной опоры человека не всегда совпадает с поверхностью опоры. У человека, как и у твердого тела, поверхность опоры ограничена линиями, соединяющими крайние точки опоры (или внешние края нескольких площадей опоры). Но у человека часто граница площади эффективной опоры расположена внутри контура опоры, так как мягкие ткани (стопа босиком) или слабые звенья (концевые фаланги пальцев в стойке на руках на полу) не могут уравновесить нагрузку. Поэтому линия опрокидывания смещается кнутри от края опорной поверхности, площадь эффективной опоры меньше площади опорной поверхности.
Во-вторых, человек никогда не отклоняется всем телом относительно линии опрокидывания (как кубик), а перемещается относительно осей каких-либо суставов, не сохраняя полностью позы (например, при положении стоя -движения в голеностопных суставах).
В-третьих, при приближении к граничному положению нередко становится трудно сохранить позу и наступает не просто опрокидывание «отвердевшего тела» вокруг линии опрокидывания, а изменение позы с падением. Это существенно отличается от отклонения и опрокидывания твердого тела вокруг грани опрокидывания (кантование).
Таким образом, углы устойчивости в ограниченно-устойчивом равновесии характеризуют динамическую устойчивость как способность восстановить равновесие. При определении устойчивости тела человека необходимо также учитывать границы площади эффективной опоры, надежность сохранения позы до граничного положения тела и реальную линию опрокидывания.
Определение
Если тело находится в состоянии покоя относительно инерциальной системы отсчета, то считают, что оно находится в равновесии .
Условия равновесия изучает раздел физики, который называют статикой.
Условия равновесия тела
Первое условие равновесия можно сформулировать исходя, из второго закона Ньютона: тело может находиться в состоянии покоя в некоторой инерциальной системе отсчета только, если равнодействующая всех сил, приложенных к этому телу (материальной точке) равна нулю:
\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0\left(1\right).}\]
Выражение (1) называют необходимым условием равновесия тела.
Если тело не подходит под определение материальной точки, то первого условия равновесия недостаточно.
Если тело может вращаться около некоторой оси, то оно находится в состоянии равновесия, если сумма моментов всех действующих на него сил относительно любой оси вращения равна нулю:
\[\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{M}}_i=0\left(2\right).}\]
Второе условие равновесия называют правилом моментов сил. $\ $\textit{}
Выше названные условия являются достаточными для того, чтобы тело считать находящимся в равновесии.
Виды равновесия
Равновесие можно разделить на: устойчивое, неустойчивое и безразличное.
Равновесие тела называют устойчивым, если при небольших смещениях, действующие на него силы, стремятся вернуть его снова в положение равновесия.
Положение равновесия называют неустойчивым, если при малых смещениях силы, оказывающие воздействие на тело уводят его из положения равновесия еще больше.
Если при небольших смещениях из положения равновесия силы, действующие на тело и их моменты, уравновешиваются, как и прежде, то такое равновесие называют безразличным.
В устойчивом положении равновесия центр тяжести занимает самое низкое положение в сравнении со всеми возможными соседними положениями тела.
1) Допустим, что тело может вращаться около закрепленной оси. Тело находится в положении равновесия, если ось проходит через центр масс тела (безразличное равновесие). Если центр тяжести тела находится ниже оси вращения, то положение равновесия тела будет устойчивым. Пусть ось вращения расположена ниже центра масс тела, то равновесие будет неустойчивым.
2) В том случае, если тело имеет точку опоры (например, шарик, лежащий на опоре), то тело находится в состоянии устойчивого равновесия, когда равнодействующая всех сил, приложенных к телу, направлена в сторону положения равновесия. Если равнодействующая равна нулю, то положение равновесия безразличное. Положение тела будет не устойчивым равновесием, если равнодействующая сил, приложенных к телу, направлена от положения равновесия.
3) Пусть тело имеет площадь опоры. Тогда его равновесие будет устойчивым, если вертикаль, проводимая через центр масс этого тела, пересечет площадь опоры.
Потенциальная энергия и устойчивое равновесие
Как было сказано тело может находиться в состоянии равновесия только, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Следовательно, равновесию соответствует точка минимума (M) или максимума (N) потенциальной энергии ($E_p$), так как в этих точках сила становится равной нулю. Но, следует заметить, что точки максимума и минимума энергии не являются равноценными (рис.1).
Если частица находится в точке с минимумом потенциальной энергии, ее координата на рис.1 $x_M$. На участке $x_1\le x\le x_M$ потенциальная энергия убывает, значит, на частицу действует положительная сила отталкивания, которая возвращает частицу в точку М.
На отрезке $x_M\le x\le x_2$ энергия $E_p$ увеличивается, на частицу оказывает воздействие отрицательная сила притяжения, которая снова возвращает тело в точку M.
Получается, что если частицу, находящуюся в точке с минимумом потенциальной энергии вывести из положения равновесия, то под действием сил она будет возвращаться назад в эту точку. Можно сделать следующий вывод: условием устойчивого равновесия является минимальная величина потенциальной энергии.
Если провести рассуждения, которые аналогичны тем, что были выше, получим, что точка N, точка максимума потенциальной энергии - это точка неустойчивого равновесия.
Анализируя условия равновесия, следует рассматривать окрестность точки поля ближайшую к ней, где нет дополнительных экстремумов энергии. Проводя анализ сил, действующих на частицу, которую смещали вправо от т М ($x_2>x_M$) мы считали, то на частицу действуют силы притяжения. Это справедливо тогда, когда частица находится левее максимума энергии. Если частица перемещена дальше вправо, то мы получаем силу отталкивания и частица не вернется в прежнее положение.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Величина силы, действующей на материальную точку, движущейся по оси X, задана уравнением: $F=-Ax\ (где\ A>0).$ Считая систему консервативной, укажите на потенциальной кривой точку устойчивого равновесия тела.
Решение. Для того чтобы определить форму потенциальной кривой найдем зависимость потенциальной энергии от координаты материальной точки ($E_p(x)$). Для этого используем формулу связи между потенциальной энергией и консервативной силой:
Подставим в подынтегральное выражение уравнение $F=-Ax$, которое задает нашу силу:
Графиком $E_p(x)$ , будет парабола (рис.2). Минимум потенциальной энергии будет находиться в точке $E_p\left(x=0\right)=С.$
Ответ. Точка С на рис.2 - положение устойчивого равновесия.
Пример 2
Задание. Будет ли равновесие шарика, подвешенного на нити устойчивым (рис.3)?
Решение. Точку подвеса шарика 0 можно рассматривать как ось вращения. Цент масс шарика находится ниже оси вращения, следовательно, равновесие системы в точке А будет устойчивым. Если шарик сместить из точки A в точку B, то на него будут действовать силы, которые возвращают его в положение А (равнодействующая сил $\overline{F}$).
Ответ. Равновесие устойчиво.
Для того чтобы судить о поведении тела в реальных условиях, мало знать, что оно находится в равновесии. Надо еще оценить это равновесие. Различают устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.
Равновесие тела называют устойчивым , если при отклонении от него возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (рис. 1 положение 2). В устойчивом равновесии центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений. Положение устойчивого равновесия связано с минимумом потенциальной энергии по отношению ко всем близким соседним положениям тела.
Равновесие тела называют неустойчивым , если при самом незначительном отклонении от него равнодействующая действующих на тело сил вызывает дальнейшее отклонение тела от положения равновесия (рис. 1 положение 1). В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести максимальна и потенциальная энергия максимальна по отношению к другим близким положениям тела.
Равновесие, при котором смещение тела в любом направлении не вызывает изменения действующих на него сил и равновесие тела сохраняется, называют безразличным (рис. 1 положение 3).
Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний, и высота центра тяжести одинакова во всех достаточно близких положениях.
Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке 2), находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, проходит через ось вращения. Причем если центр тяжести С выше оси вращения (рис. 2,1), то при любом отклонении от положения равновесия потенциальная энергия уменьшается и момент силы тяжести относительно оси О отклоняет тело дальше от положения равновесия. Это неустойчивое положение равновесия. Если центр тяжести находится ниже оси вращения (рис. 2,2), то равновесие устойчивое. Если центр тяжести и ось вращения совпадают (рис. 2,3), то положение равновесия безразличное.
Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела не выходит за пределы площади опоры этого тела, т.е. за пределы контура образованного точками соприкосновения тела с опорой Равновесие в этом случае зависит не только от расстояния между центром тяжести и опорой (т.е. от его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли), но и от расположения и размеров площади опоры этого тела.
На рисунке 2 изображено тело, имеющее форму цилиндра. Если его наклонить на малый угол, то оно возвратится в исходное положение 1 или 2. Если же его отклонить на угол (положение 3), то тело опрокинется. При заданной массе и площади опоры устойчивость тела тем выше, чем ниже расположен его центр тяжести, т.е. чем меньше угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью.
81.Ф1023 . Лампочка висит на расстоянии l 1 от потолка на высоте l 2 от пола. При ее взрыве осколки разлетаются во все стороны с одной и той же по величине скоростью v . Найдите радиус круга на полу, в который попадут осколки. Считать, что удары осколков о потолок абсолютно упругие, а о пол − неупругие; до стен осколки не долетают.
82.Ф1043 . По гладкой горизонтальной поверхности, вращаясь, скользит со скоростью v = 10 см/с палочка длиной l = 10 см . При какой угловой скорости вращения палочка ударится о вертикальную стену плашмя, если на расстоянии L = 50 см от стены палочка была параллельна стене?
83.Ф1048 . Киномеханик по ошибке вставил киноленту так, что все события на экране «потекли в обратном направлении», при этом автомобили поехали назад. Как изменяются скорость и ускорение автомобиля в результате такой ошибки?
84.Ф1049 . Деревянный плот оттолкнули от берега реки так, что в начальный момент его скорость была равной v и направлена перпендикулярно берегу. Траектория плота показана на рисунке. Крестиком на траектории отмечено место, в котором плот находится через время Т после начала движения. Считая скорость реки постоянной и равной и, найдите графически точки траектории, в которых плот находился в моменты времени 2T , ЗТ , 4T .
85.Ф1063 . Пешеходу необходимо в кратчайшее время попасть из точки поля А в точку поля В , расстояние между которыми 1300 м . Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка А находится от нее на расстоянии 600 м , а точка В – на расстоянии 100 м . Скорость перемещения пешехода по полю равна 3 км/ч , а по дороге – 6 км/ч . Какой путь должен избрать пешеход? Чему равно минимальное время? Рассмотреть случаи, когда точки А и В лежат по одну сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.
86.Ф1073 . Маленький упругий мячик отпускают с высоты Н = 1 м над полом, а на его пути закрепляют пластинку, от которой он отскакивает. Какая скорость будет у мячика в момент удара о пол? Как нужно расположить пластинку, чтобы мячик ударился о пол как можно дальше от начальной точки? Чему равно это максимальное расстояние?
87.Ф1078 . Длинная тонкая нить с грузом на конце переброшена через блок и привязана к носу модели лодки, которая может плыть по длинному прямолинейному каналу с водой. Лодку и груз отпускают, и скорость лодки (в см/с ) записывают каждую секунду. К сожалению, сохранился только конец этой записи: 5,65 ; 6,44 ; 6,96 ; 7,31 ; 7,54 ; 7,70 ; 7,80 ; 7,86 ; 7,91 . Определите по этим данным скорость лодки через 0,1 секунды после того, как ее отпустили.
88.Ф1138 . Разгоняясь с максимально возможным ускорением на прямом участке шоссе, гоночный автомобиль увеличивает скорость от 10,0 м/с до 10,5 м/с за время 0,1 с . За какое время он смог бы сделать то же самое на кольцевом участке с радиусом 30 м ? При каком радиусе кольца он вообще не смог бы увеличить скорость выше 10 м/с ? Плоскость шоссе горизонтальна.
89.Ф1169
. Тонарм проигрывателя представляет собой легкий прямой стержень длиной L
(рис.), на одном конце которого (в точке В
) укреплен звукосниматель с иглой, а другой конец закреплен в шарнире, который может без трения вращаться относительно вертикальной оси А
, проходящей на расстоянии R
(R > L
) от оси вращения О
диска проигрывателя. Игла ставится на ровную однородную поверхность равномерно вращающегося диска. Найдите установившийся угол α
между тонармом и линией АО
.
90.Ф1175
. НЛО пролетает над Землей с постоянной очень большой скоростью v
. Какую скорость зафиксируют наземные приборы станции слежения в тот момент, когда направление на объект будет составлять угол φ
с вертикалью (рис.)?
91.Ф1178
. В пространстве падает лист фанеры. Оказалось, что в некоторый момент времени скорости двух точек листа а
и b
одинаковы: v a = v b = v
и лежат в плоскости листа. Оказалось также, что скорость точки листа с
, находящейся от точек а
и b
на расстояниях, равных расстоянию между точками a
и b
, в два раза больше скорости v
. Где в данный момент на листе находятся точки, скорости которых равны 3v
?
92.Ф1183
. Автобус движется с постоянной скоростью u = 60 км/ч
, подолгу стоя на остановках. На улице ветер и идет дождь. Дождевые капли образовали на боковом стекле автобуса такую картину, как показано на рисунке. Скорость и направление ветра не меняются. Какова скорость падения капель дождя? Что можно сказать о скорости ветра? Дорога прямая, автобус не разворачивается.
93.Ф1193
. В пространстве движется кубик. В данный момент грань ABCD
горизонтальна (рис.), а скорости точек A
и В
направлены вертикально вниз и равны по модулю v
. Известно, что скорость точки С
в этот же момент равна по модулю 2v
. Какую максимальную скорость могут иметь в этот момент другие точки кубика?
94.Ф1214
. Вдогонку снаряду, выпущенному горизонтально с горы высотой h = 1 км
со скоростью v o = 500 м/с
, через время t o = 1 с
выпущен второй снаряд. Какой минимальной начальной скоростью он должен обладать и под каким углом вылететь, чтобы догнать первый снаряд?
95.Ф1233 . Гонки мотоциклистов происходят по узкой круговой трассе. Трогаясь с места, мотоциклист стремится побыстрее набрать скорость. Какую часть круга он пройдет к моменту достижения максимальной скорости?
96.Ф1243 . Таракан и два жука могут ползать по большому горизонтальному столу. Каждый из жуков может развивать скорость до 1 см/с . В первый момент насекомые находятся в вершинах равностороннего треугольника. Какую скорость должен уметь развивать таракан, чтобы при любых перемещениях жуков треугольник оставался равносторонним?
