Декартовы уравнения. Аналитическая геометрия

Часто можно легко выписать формулу, показывающую, как изменятся координаты точки М, если от одной системы координат перейти к другой. Выведем формулы связи между декартовыми координатами (x,y) и полярными r и φ.

Пусть даны: декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью X (рис. 7а), x и y – декартовы координаты точки, r и φ – ее полярные координаты. Из треугольника, образованного точками О, М и х , видно, что зависимость между полярными координатами r и φ точки М и ее прямоугольными координатами x и y выражается формулами, известными из тригонометрии:

y =rsinj, x =rcosj - вычисление декартовых координат по полярным

Вычисление полярных координат по декартовым (одной формулы для определения угла недостаточно).

То есть, зная декартовы координаты точки, мы можем определить ее полярные координаты. И наоборот. Зная ее полярные координаты, можно определить декартовы координаты.

Пример

Чему равны полярные координаты точки М, имеющей декартовы координаты один и минус один?

Подставив значения декартовых координат в формулы, которые задают выражение полярных координат через декартовы, получаем, что:

Так как точка М находится в четвертой четверти, то j=315° (рис. 7б)

Линии и их уравнения

Итак, при наличии системы координат каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой паре чисел соответствует определенная точка плоскости. Можно установить, что линиям на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными x и y в декартовой системе координат и переменными r и j в полярной. Связь между уравнениями и линиями позволяет свести изучение геометрических свойств линий к исследованию аналитических свойств соответствующих им уравнений. Линии на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. Такое уравнение называют уравнением данной линии. Входящие в него координаты x и y (или r и j) произвольной точки линии называются текущими координатами.

Уравнение линии на плоскости может быть аналитически задано в явном виде - y=f(x), r=f(j) или неявном виде - F(x,y)=0, F(r,j)=0. Полярную систему координат удобно использовать, когда длина радиуса-вектора точек, лежащих на линии, связана аналитической зависимостью со значением угла поворота j.

Примеры уравнений линий в декартовой и полярной системе координат

1.Уравнение прямой, отсекающей на оси Y отрезок величины b: y=kx+b, где k - значение tg угла наклона прямой к оси ОХ; параметр k называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение линии задано в явном виде (рис. 8).

2.Уравнение линии, являющейся геометрическим местом точек, для которых расстояние до некоторой точки О с координатами а и b есть величина постоянная (обозначим ее через R). Выпишем условие равенства константе R расстояния от любой точки М(x,y) до точки O(a,b): . Возведя обе части равенства в квадрат, получаем каноническое уравнение окружности:

(x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2

Если система координат выбрана так, что центр окружности совпадает с началом координат, то a=0, b=0 и уравнение окружности принимает вид:

Уравнение линии в этих примерах задано в неявном виде.

3.Уравнение окружности в полярной системе координат.

Введем полярную систему координат, центр которой совпадает с центром окружности, а направление полярной оси, например, горизонтальное. Окружность определяется, как геометрическое место точек, для которых расстояние до некоторой точки О есть величина постоянная (эту величину мы обозначали через R). Следовательно, уравнение окружности в полярных координатах: r=R

Окружность дает простейший пример линии, уравнение которой от перехода к полярной системе координат упрощается.

На рисунке 9 приведена окружность и ее уравнение в разных системах координат. Одновременно мы показали на этом простом примере, что вид линии не зависит от того, в какой системе координат написано ее уравнение. От выбора системы координат зависит лишь вид уравнения.

Рассмотрим примеры еще 2 кривых, длина радиуса-вектора которых связана аналитической зависимостью со значением его угла поворота j. Уравнения этих кривых удобно задавать именно в полярной системе координат.

Уравнение спирали Архимеда

Пусть по лучу, вращающемуся около полюса О с постоянной угловой скоростью w, движется точка М с постоянной скоростью v. Тогда точка М опишет линию, которая называется спиралью Архимеда. Для того чтобы вывести уравнение этой линии, введем полярную систему координат, центр которой совпадает с точкой О, тогда расстояние от точки М до полюса О r=ОМ пропорционально углу j (рис 10а). Это означает, что уравнение спирали Архимеда можно записать в виде:

В предыдущих главах мы строили опорные точки графика спирали Архимеда, руководствуясь именно этим свойством спирали – при изменении угла на величину nΔφ длину радиуса-вектора мы меняли на nΔr.

Из уравнения видно, что если j=2p (точка М совершила полный оборот вокруг центра О), то r 1 =k×2p, после второго оборота r 2 =k×4p=2r 1 , после третьего r 3 =k×6p=3r 1 и т.д. Величина k×2p=а называется шагом спирали. Шаг спирали - это величина смещения вдоль луча, соответствующее повороту луча на 2p.

Так как шаг спирали имеет ясный физический смысл, уравнение спирали Архимеда принято задавать в терминах именно шага спирали: . Коэффициент пропорциональности k и шаг спирали а связаны соотношением: и а=2pk.

нет точек разрыва π– точка разрыва II родаx 0 - точка разрыва I рода

О: Если на отрезке функция у=f(x) имеет крнечное число точек разрыва I рода (x=C 1, C 2, …C n , гдеC i - точка разрыва I рода, 1≤i≤n), то

О: Если в точке bподынтегральная функция у=f(x) имеет разрыв II рода (т.е.

), тонесобственным интегралом II рода от функции у=f(x) на отрезке называется предел, к которому стремится

, т.е. несобственный интеграл II рода есть

(2).

О: Если существует конечный предел в функции (2), то несобственный интеграл II рода называется сходящимся, если конечного предела нет, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Вычисление площади плоской фигуры в декартовой прямоугольной системе координат.

Подынтегральная функция задана параметрически.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.

Требуется найти площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами ОА и ОВ и линией, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид r=r(φ).

Пусть S n – площадь плоской фигуры, составленной из круговых секторов с вершиной в точке О и радиусамиr 1 ,r 2 …r n . Тогда

О: Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат – это предел к которому стремится интегральная сумма (1) приn→∞bи ∆φ→0, где ∆φ=max(∆φ), 1≤k≤n.

Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть в декартовой системе координат 0, х, у задан график функции у=f(х). Будем считать, что эта функция непрерывна вместе со своей производной.

О: Длиной дуги графика функции у=f(х) называется предел, к которому стремится длина ломанной линии, вписанной в эту дугу при неограниченном увеличении числа сторон этой ломанной линии и стремлении к нулю наибольшей из этих сторон.

a=x 0

Длина ломанной линии:

На основании формулы Лаграунда, имеем

Из (1) и (2) =>

. Переходим к пределу в равенстве (3) при n→∞ и ∆х→0,

(4), где L – длина дуги графика функции у=f(х), определённой на отрезке . Из (4) =>

Формула для вычисления длины дуги при различном способе задания кривой на плоскости.

График функции задан параметрически

, тогда из (5) =>

Вычисление объёма тела п площади параллельных плоскостных сечений. Вычисление объёма тела вращения.

Пусть в пространстве дано тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого его сечения, полученного плоскость, проведённой перпендикулярно некоторой оси. В начале этой оси можно взять ось Ох. В этом случае площадью произвольного сечения является функция переменной х (S=S(x)).

О: Объёмом тела называется предел, к которому стремится объём вписанного в него многоступенчатого цилиндра при неограниченном увеличении числа ступеней цилиндра и стремлении к нулю объёма наибольшего из них.

а=x 0

Перейдём к пределу в функции (1) при n→∞bи ∆х→0

Если рассматриваемое тело, полученное при помощи вращения произвольной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=у(х), то поперечным сечением данного тела в точке х является круг, радиус которого rравен значению функции у в данной точке х.r=y(x). ТогдаS(x) – есть площадь кругаS(x)=πy 2 (x).

Уравнением называют выражение, состоящее из двух частей, которые разделены знаком «равно» таким образом, что в каждой части фигурируют алгебраические комбинации из чисел и букв.

Таким образом, выражение y=2, несмотря на свою простоту, является уравнением. В декартовой плоскости множество точек, чьи координаты удовлетворяют этому уравнению, образуют прямую, параллельную оси Y, которая проходит через точку (0, 2). Уравнение y=x представляет из себя прямую, образованную точками, абсцисса и ордината которых совпадают. Таким образом, речь идет о биссектрисе первого и третьего квадрантов, то есть о прямой, которая делит прямой угол на два одинаковых угла по 45°. Нужно понимать, что уравнение y=x идентично уравнению y-x=0, впрочем, как и уравнению x-y=0.

Всегда, когда в уравнении переменные х или у не возведены в степень (или лучше сказать, когда степень равна единице), данное уравнение представляет собой прямую на плоскости . Приведем еще несколько примеров уравнений прямых:
у=3х-2, 6у-8х=0, -2у=6х+1.

Графически изобразить прямую очень просто: чтобы ее прочертить, необходимо знать лишь две ее точки. Удобнее всего определить те две точки, в которых прямая пересекает . Это делается следующим образом

Предположим, что мы хотим изобразить прямую y=3х-6. В точке, где прямая пересекает ось абсцисс, ордината должна иметь значение 0. Таким образом, приравнивая у к 0, получаем 0=3х-6 или, что то же самое, 3х=6. Таким образом, х=6/3=2.

Аналогичным образом приравнивая х к 0, получим y=-6. Таким образом, точки пересечения искомой прямой с осями координат таковы: (2, 0) и (0, -6). Теперь мы уже можем начертить прямую.

Также возможно представить посредством уравнений более сложные фигуры: окружности, эллипсы, любые виды конических поверхностей. Понятно, что уравнения, описывающие сложные фигуры, будут более сложными, нежели уравнения прямых. К примеру, уравнение $x^2+y^2=9$ описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 3. А формула $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ является уравнением эллипса с центром в начале координат и полуосями 2 и 3.

Кроме того, для обозначения частей плоскости можно использовать неравенства . Например, множество точек х и у, удовлетворяющих условиям $0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$ находится внутри прямоугольника с вершинами (0,0), (2,0), (2,1) и (0,1).

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором геометрические задачи решаются средствами алгебры на основе метода координат. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии , механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано P. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера.

Важность аналитической геометрии заключается в том, что данное направление устанавливает взаимосвязь между геометрическими кривыми и алгебраическими уравнениями. Это соотношение делает возможным преобразование задач геометрии в задачи алгебраических уравнений и наоборот. В последнее время, время бурного роста компьютерных технологий, такие понятия как компьютерная анимация и автоматическое осуществление дизайна представляются явлениями повседневными. Эти прикладные программы основаны на трехмерной аналитической геометрии.

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка. Методы аналитической геометрии применимы к фигурам на плоскости и к поверхностям в трехмерном пространстве, а также допускают естественное обобщение и на пространства более высоких размерностей. Мы начнем с аналитической геометрии на плоскости.

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты x и y каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом, в отличие от традиционной «синтетической» геометрии, где приходилось изобретать методы доказательства для каждого отдельного случая.

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости p две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу . Эти прямые с указанными на них положительными направлениями, началом координат О и выбранной масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ox и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть Mx и My - проекции М на Ox и Оу, а числа х и y - величины направленных отрезков OMx и ОМу . Понятие направленный отрезок означает, что величина х отрезка OMx, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к Mx совпадает с направлением на прямой Ox, и со знаком минус в противоположном случае. Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они называются соответственно абсциссой и ординатой точки M. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М (х, у ). Ясно, что координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости p с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F (x, y ) = 0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки M, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат O , то уравнение x2+ y2 - R2 = 0 будет уравнением рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис. 2 . Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника OMMx получается x2 + y2 - R2 = 0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно, x2 + y2 - R2 ¹ 0. Итак, линии L на плоскости можно сопоставить её уравнение F (x, y ) = 0 относительно системы координат Оху.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F (x, y ) = 0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В (рис. 3 ).

Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а ось Ox направлена перпендикулярно прямой В. Так как прямая В перпендикулярна оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a. Таким образом, уравнение прямой В имеет вид x - a = 0. Координаты (x, y ) точки пересечения окружности С , уравнение которой имеет вид x2 + y2 - R2 = 0, и прямой В удовлетворяют одновременно уравнениям

Получить полный текст

x2 + y2 - R2 = 0, х - а = 0, (1)

то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х = a, у = ± . Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках (R2 > a2 ) (этот случай изображен на рис. 3 ), могут иметь одну общую точку (R2 = a2 ) (в этом случае прямая В касается окружности C ) и не иметь общих точек (R2 < a2 ) (в этом случае прямая В лежит вне окружности C ).

В аналитической геометрии на плоскости систематически исследуются так называемые алгебраические линии первого и второго порядков. Эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени. Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

http://pandia.ru/text/78/223/images/image004_102.gif" width="91 height=52" height="52">, , , .

Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе - гиперболу, третье - параболу, а последние два - пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).

Итак, между множеством линий на плоскости и множеством уравнений с двумя неизвестными существует взаимно-однозначное соответствие.

В аналитической геометрии в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты.x , у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем (см. рис).

http://pandia.ru/text/78/223/images/image009_54.gif" width="70" height="22">относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 + z2 - R2 = 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S1. Если F1 (x, y, z ) = 0 и F2 (x, y, z ) = 0 - уравнения поверхностей S 1 и S 2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Таким образом, метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В аналитической геометрии в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N = 0.

Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются:

- эллипсоид;

- однополостной гиперболоид;

- двуполостной гиперболоид;

Эллиптический параболоид;

Гиперболический параболоид.

Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

I. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

Прямая, на которой выбрано положительное направление, называется осью . На чертежах положительное направление оси обозначают стрелкой. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками A и B , называется направленным отрезком , если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая – концом. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается символом . Величиной направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если это направление противоположно положительному направлению оси. Величина отрезка http://pandia.ru/text/78/223/images/image017_31.gif" width="30" height="19">. Из сказанного ясно, что величина отрезка, в отличие от его длины есть число относительное . Очевидно, длина отрезка есть модуль его величины, поэтому, в согласии с принятым в алгебре способом обозначать модуль числа, для обозначения длины отрезка мы будем употреблять символ/text/categ/nauka.php" class="myButtonNauka">Получить полный текст

Пусть дана какая-нибудь ось а . Примем некоторый масштабный отрезок в качестве единицы измерения длин и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой а будет введена система координат .

Координатой любой точки М прямой а (в установленной системе координат) называется число x , равное величине отрезка ОМ :

Точка О называется началом координат; ее собственная координата равна нулю. В дальнейшем символ М (х ) означает, что точка М имеет координату х .

Если и - две произвольные точки прямой а , то формула

выражает величину отрезка , формула

выражает его длину .

2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Д екартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, пронумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат , а сами оси - координатными осями . Первая из координатных осей называется осью абсцисс , вторая - осью ординат .

Начало координат обозначается буквой О , ось абсцисс - символом Ох , ось ординат - символом Оу .

Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

При вычислении по этой формуле площадь получится положительной, если обход вершин в порядке их нумерации происходит против часовой стрелки, и отрицательной в противоположном случае.

Отсюда, в частности, вытекает условие расположения трех точек на одной прямой:

http://pandia.ru/text/78/223/images/image067_8.gif" width="77" height="25 src=">, , , ,… равна

http://pandia.ru/text/78/223/images/image074_6.gif" width="54" height="25"> и .

7. Уравнение линии как геометрического места точек

Уравнением линии называется уравнение http://pandia.ru/text/78/223/images/image078_6.gif" width="14" height="21"> с координатами (А, В ). Коэффициент А при переменной х является первой координатой нормального вектора прямой, а коэффициент В при переменной у является второй координатой нормального вектора прямой.

Заметим, что если два общих уравнения http://pandia.ru/text/78/223/images/image079_6.gif" width="123" height="23 src="> определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что справедливы равенства

А1=А· t , B1=B· t, C1=C· t.

Рассмотрим, как располагается прямая относительно системы координат в зависимости от значений коэффициентов А В и С общего уравнения прямой:

а) при С = 0 - прямая проходит через начало координат;

б) при B = 0 - прямая параллельна оси Оу;

в) при А = 0 - прямая параллельна оси Ох;

г) при В = С = 0 Ах = 0, х = 0 - ось Оу;

д) при А = С = 0 By = 0, у = 0 - ось Ох.

Перенесем в общем уравнении параметр С в правую часть и разделим обе части уравнения на -С . Уравнение примет вид

http://pandia.ru/text/78/223/images/image084_6.gif" width="67" height="32">, . Получим

http://pandia.ru/text/78/223/images/image087_7.gif" width="14" height="17 src=">.gif" width="53" height="23"> . Очевидно, что некоторая точка М (х, у ) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы http://pandia.ru/text/78/223/images/image089_6.gif" width="53" height="23"> коллинеарны , т. е., когда координаты этих векторов пропорциональны:

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Заметим, что в каноническом уравнении прямой один из знаменателей или http://pandia.ru/text/78/223/images/image092_7.gif" width="11" height="23"> иравняться нулю быть не могут, ибо вектор http://pandia.ru/text/78/223/images/image094_6.gif" width="68" height="23">можно понимать как , обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль и соответствующего числителя. В самом деле, если, например, , то, поскольку , из равенства заключаем, что .

В заключение запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1 (х1,у1 ) и М2 (х2,у2 ). Считаем, что точки отличны друг от друга..gif" width="127" height="51 src=">.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости, с заданными координатами (х1,у1 ), (х2,у2 ).

Параметрические уравнения прямой . Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения. Запишем каноническое уравнение в виде

http://pandia.ru/text/78/223/images/image103_7.gif" width="81" height="25 src=">.gif" width="102" height="55 src=">.

Полученные уравнения и есть искомые параметрические уравнения прямой. Уравнения допускают наглядную механическую интерпретацию. Если считать, что параметр t это время, то полученные параметрические уравнения определяют движение точки по прямой линии с постоянной скоростью .

Получить полный текст

Приведем в качестве примера параметрическое уравнение окружности. Пусть М (х, у ) –текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R .

http://pandia.ru/text/78/223/images/image108_6.gif" width="85" height="48 src=">.

Чтобы получить уравнение окружности в декартовых координатах, исключим из системы уравнений параметр t . Для этого возведем каждое уравнение системы в квадрат и сложим их:

http://pandia.ru/text/78/223/images/image110_6.gif" width="17" height="16">наклона прямой к положительному направлению оси Ох называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k :

http://pandia.ru/text/78/223/images/image110_6.gif" width="17" height="16">=0, то и k =0. Это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.

Если , то не имеет смысла. Это означает, что прямая перпендикулярна оси Ох и она не имеет углового коэффициента.

Угловой коэффициент можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой: М1 (х1,у1 ) и М (х, у ). Тогда

http://pandia.ru/text/78/223/images/image115_5.gif" width="148" height="27 src=">.

Если прямая пересекает ось Oy в некоторой точке (0 ,b ), то уравнение принимает вид

http://pandia.ru/text/78/223/images/image117_5.gif" width="89" height="25 src=">

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом ; k обозначает угловой коэффициент данной прямой, а b – представляет собой величину отрезка, осекаемого данной прямой на оси Oy , начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть систему уравнений

http://pandia.ru/text/78/223/images/image120_4.gif" width="16" height="21 src=">- угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох. Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 к нормированному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель

,

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С. Это объясняется тем, что общее уравнение Ах+Ву+С=0 и нормированное уравнение должны определять одну и ту же прямую. А в силу замечания, сделанного в разделе «общее уравнение прямой», найдется такое число t , что http://pandia.ru/text/78/223/images/image123_4.gif" width="84 height=21" height="21">, .Возводя в квадрат первые два равенства и затем складывая их, получим , откуда

.

Остается уточнить, какой из знаков взять в этой формуле. Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из равенства

следует, что знак t противоположен знаку С .

Расстояние d от точки (x; у) до прямой найдем, если в левую часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (x; y) и полученное число возьмем по абсолютной величине:

http://pandia.ru/text/78/223/images/image128_5.gif" width="112" height="47 src=">.

Условие параллельности двух прямых. Очевидно, прямые и параллельны друг другу, если k 1 = k 2 . Если прямые заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, то, переписав их в виде

и , видим, что , . Следовательно, условие параллельности прямых примет вид

http://pandia.ru/text/78/223/images/image137_5.gif" width="25" height="47 src="> или .

Условие перпендикулярности двух прямых. . Очевидно, прямые и перпендикулярны друг другу, если углы наклона http://pandia.ru/text/78/223/images/image140_4.gif" width="20" height="23 src="> этих прямых к оси Ох связаны соотношением http://pandia.ru/text/78/223/images/image142_5.gif" width="41" height="19 src=">. Тогда или . Если прямые заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 , то учитывая, что , , получим условие перпендикулярности двух прямых, выраженное чере з коэффициенты общего уравнения прямой

http://pandia.ru/text/78/223/images/image146_4.gif" width="24" height="47 src="> или .

Уравнение пучка прямых. Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку М (х0,у0 ) называется пучком прямых с центром М .

Пусть А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0 – уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М , и - произвольные числа, одновременно неравные нулю. Тогда + http://pandia.ru/text/78/223/images/image152_4.gif" width="46" height="21 src="> , то при получим уравнение пучка прямых в виде

http://pandia.ru/text/78/223/images/image155_3.gif" width="133" height="23 src=">=0.

Это уравнение определяет все прямые пучка, кроме прямой, задаваемой уравнением , так как .

II . Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

В аналитической геометрии в пространстве, как и в аналитической геометрии на плоскости, каждая задача, какой бы сложной она ни была, сводится к некоторым простейшим задачам. Таковыми задачами, например являются задача определения расстояния между двумя данными точками, задача деления отрезка в данном отношении, задача вычисления угла между двумя заданными отрезками и т. п. первые две задачи решаются аналогично соответствующим задачам на плоскости.

1. Определение расстояния между двумя заданными точками в пространстве. Пусть даны две произвольные точки и . Тогда расстояние между ними определяется по формуле

2. Деление отрезка в заданном отношении. Пусть даны две произвольные точки http://pandia.ru/text/78/223/images/image158_3.gif" width="91" height="24 src="> тогда координаты точки , на прямой , делящей отрезок в заданном отношении http://pandia.ru/text/78/223/images/image165_3.gif" width="81" height="41">, , ,

где http://pandia.ru/text/78/223/images/image169_3.gif" width="36" height="19 src=">:

Для решения других простейших задач пространственной аналитической геометрии удобно применять такие операции над векторами как сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное умножение векторов, векторное умножение векторов. Определение и основные свойства этих операций над векторами будут рассмотрены в дальнейшем.

3. Уравнение плоскости.

3.1. Общее уравнение плоскости. Линейное уравнение вида

Получить полный текст

называется общим уравнением плоскости.

Коэффициенты и в этом уравнении имеют смысл координат вектора, нормального к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку имеет вид

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку http://pandia.ru/text/78/223/images/image179_4.gif" width="207" height="21 src="> или

Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны:

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости.

1) В уравнении плоскости http://pandia.ru/text/78/223/images/image188_3.gif" width="113" height="21"> и определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2) В уравнении плоскости http://pandia.ru/text/78/223/images/image190_3.gif" width="108" height="21">.gif" width="60" height="21">.gif" width="23" height="19 src=">, а сама плоскость параллельна этой оси, иди проходит через нее.

3) В уравнении плоскости http://pandia.ru/text/78/223/images/image189_3.gif" width="44" height="19 src="> Уравнение плоскости принимает вид и определяет плоскость, параллельную координатной плоскости , или совпадающую с ней. Действительно, в этом случае нормальный вектор с координатами имеет нулевые проекции на осиhttp://pandia.ru/text/78/223/images/image191_3.gif" width="23" height="19 src=">.gif" width="23" height="19 src=">, а сама плоскость параллельна этим осям, иди проходит через них. Следовательно, плоскость параллельна координатной плоскости . В этом же самом можно убедиться и другим путем. Представим уравнение в виде и положим Уравнение плоскости примет вид http://pandia.ru/text/78/223/images/image199_2.gif" width="39" height="15 src=">.gif" width="13" height="15">.gif" width="41" height="19">, то и ; в этом случае рассматриваемая плоскость совпадает с плоскостью ..gif" width="29" height="21">.