В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.
Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями
Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.
И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями
В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:
Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8
И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Применяем третье правило:
Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.
Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:
- Теперь найдём второй дополнительный множитель: 6:3=2. Записываем его над второй дробью:
В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.
Для начала напомню определение равенства дробей:
Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .
- 5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
- 3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.
Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:
- Дробь a /b больше, чем дробь c /d ;
- Дробь a /b меньше, чем дробь c /d .
Дробь a /b называется большей, чем дробь c /d , если a /b − c /d > 0.
Дробь x /y называется меньшей, чем дробь s /t , если x /y − s /t < 0.
Обозначение:
Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:
- Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
- Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.
Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это - галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.
Задача. Сравнить числа:
Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:
В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей » - он совсем легкий.
Сравнение десятичных дробей
В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать - достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей » - это также займет буквально пару минут.
Положительная десятичная дробь X больше положительной десятичной дроби Y , если в ней найдется такой десятичный разряд, что:
- Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;
- Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.
- 12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий - больше (2 > 1);
- 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).
Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.
Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:
- 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
- 2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.
Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.
Задача. Сравните дроби:
- 0,029 ∨ 0,007;
- 14,045 ∨ 15,5;
- 0,00003 ∨ 0,0000099;
- 1700,1 ∨ 0,99501.
По определению имеем:
- 0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
- 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
- 0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй - 0. Очевидно, 3 > 0;
- 1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 - различие обнаружено в первом же разряде.
К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа . В общем же случае алгоритм работы следующий:
- Положительная дробь всегда больше отрицательной;
- Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
- Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.
Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры - и все станет понятно.
Задача. Сравните дроби:
- 0,0027 ∨ 0,0072;
- −0,192 ∨ −0,39;
- 0,15 ∨ −11,3;
- 19,032 ∨ 0,0919295;
- −750 ∨ −1,45.
- 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
- −0,192 > −0,39. Дроби отрицательные, 2 разряд разный. 1 < 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
- 0,15 > −11,3. Положительное число всегда больше отрицательного;
- 19,032 > 0,091. Достаточно вторую дробь переписать в виде 00,091, чтобы увидеть, что различие возникает уже в 1 разряде;
- −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 > 001,45. Различие - в первом же разряде.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.
Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8
частей, а другой на 5
частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?
Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4;
6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3
(12:
4=3
). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2
(12:
6=2
). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10)
, то и сама первая дробь меньше второй дроби.
