Уравнение мгновенной скорости. Мгновенная скорость: понятие, формула расчета, рекомендации по нахождению

2.2 Средняя и мгновенная скорость при движении точки по прямой

Как мы уже отмечали, равномерное движение является простейшей моделью механического движения. Если такая модель неприменима, то необходимо использовать более сложные модели. Для их построение нам необходимо рассмотреть понятие скорости в случае неравномерного движения.

Пусть за интервал времени от t 0 до t 1 координата точки изменилась от x 0 до x 1 . Если мы вычислим скорость по прежнему правилу

\(~\upsilon_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_1 - x_0}{t_1 - t_0} \) , (1)

то получим величину (она называется средней скоростью ), которая описывает быстроту движения «в среднем» - вполне возможно, что за первую половину времени движения точка сместилась на большее расстояние, чем за вторую.

Средней скоростью называется физическая величина равная отношению изменения координаты точки к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло.

Геометрический смысл средней скорости - коэффициент наклона секущей AB графика закона движения.

Для более детального, более точного описания движения, можно задать два значения средней скорости – за первую половину времени движения υ ср1 , за вторую половину - υ ср2 .Если и такая точность нас не устраивает - то необходимо дробить временные интервалы дальше - на четыре, восемь и т.д. частей. При этом необходимо задавать соответственно четыре, восемь и т.д. значений средних скоростей. Согласитесь, такое описание становится громоздким и неудобным. Выход из этой ситуации давно найден - он заключается в том, что бы рассматривать скорость как функцию времени.

Давайте посмотрим, как будет меняться средняя скорость при уменьшении промежутка времени, за который мы эту скорость вычисляем. На рис.6 показан график зависимости координаты материальной точки от времени. Будем вычислять среднюю скорость за интервал времени от t 0 до t 1 , последовательно приближая значение t 1 к t 0 . При этом семейство секущих A 0 A 1 , A 0 A 1 ’, A 0 A 1 ’’ (рис.6), будет стремиться к некоторому предельному положению прямой A 0 B , которая является касательной к графику закона движения. Мы приводим два различных случая, чтобы показать, что мгновенная скорость может быть как больше, так и меньше средней скорости. Эту процедуру можно описать и алгебраически, последовательно вычисляя отношения \(~\upsilon_{cp} = \frac{x_1 - x_0}{t_1 - t_0}\) , \(~\upsilon"_{cp} = \frac{x"_1 - x_0}{t"_1 - t_0}\) , \(~\upsilon""_{cp} = \frac{x""_1 - x_0}{t""_1 - t_0}\) . При этом оказывается, что эти величины приближаются к некоторому вполне определенному значению. Это предельное значение получило название мгновенной скорости .

Мгновенной скоростью называется отношение изменения координаты точки к интервалу времени, за которое это изменение произошло, при интервале времени, стремящемся к нулю :

\(~\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) , при Δt → 0 . (2)

Геометрический смысл мгновенной скорости - коэффициент наклона касательной к графику закона движения.

Таким образом, мы «привязали» значение мгновенной скорости к конкретному моменту времени - задали значение скорости в данный момент времени, в данной точке пространства. Тем самым у нас появилась возможность рассматривать скорость тела как функцию времени, или функцию координаты.

С математической точки зрения это гораздо удобней, чем задавать значения средних скоростей на многих малых временных промежутках. Однако давайте задумаемся, а имеет ли физический смысл скорость в данный момент времени? Скорость - характеристика движения, в данном случае перемещения тела в пространстве. Для того чтобы зафиксировать перемещение необходимо наблюдать за движением в течение некоторого промежутка времени. Чтобы измерить скорость, также необходим промежуток времени. Даже самые совершенные измерители скорости радарные установки измеряют скорость движущихся автомобилей пусть за малый (порядка одной миллионной доли секунды) промежуток времени, а не в какой-то момент времени. Следовательно, выражение «скорость в данный момент времени» с точки зрения физики некорректно. Тем не менее, в механике постоянно пользуются понятием мгновенной скорости, которое очень удобно в математических расчетах. Математически, логически мы можем рассмотреть предельный переход Δt → 0, а физически имеется минимально возможное значение промежутка Δt , за который можно измерить скорость.

В дальнейшем, говоря о скорости, мы будем иметь в виду именно мгновенную скорость. Заметим, при равномерном движении мгновенная скорость равна ранее определенной скорости, потому, что при равномерном движении отношение \(~\frac{\Delta x}{\Delta t}\) не зависит от величины промежутка времени, поэтому остается неизменным и при сколь угодно малом Δt .

Так как скорость может зависеть от времени, то ее следует рассматривать как функцию времени, и изображать ее в виде графика.

Уменьшая неограниченно промежуток времени t, за который произошло перемещение м. т. в пространстве в пределе, когда t  0, получим мгновенную скорость, т. е.

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения радиус-вектора м. т. к тому промежутку времени, за которое это приращение произошло, когда  t  0 или равен первой производной радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории в данной точке (рис. 9).

Действительно, при t  0, когда точка М 2 приближается к М 1 , хорда (секущая) , сближается с длиной отрезка дугиs и в пределе s = , а секущая переходит в касательную. Это наглядно подтверждается опытами. Например, искры при заточке инструмента всегда направлены по касательной к точильному кругу. Поскольку, скорость – величина векторная, то модуль ее

.

В некоторых типах ускорителей (например, циклотронах и др.) частицы многократно движутся по замкнутой траектории без остановки. Следовательно, в любой точке траектории модуль вектора мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Это заключение подтверждается не только уравнением (15), но и согласуется с понятием средней скалярной скорости (формула 11). Если в уравнении (11) перейти к пределу при t  0, то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории s, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения . Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной скалярной скорости

совпадающее с модулем вектора мгновенной скорости
,

так как r = s при t  0.

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора скорости на оси координат

v x = dx/dt, v y = dy/dt, v z = dz/dt. (16)

Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси координат выражением

, (17)

где
– единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У,Z соответственно.

По модулю

. (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемещения в пространстве по величине и направлению с течением времени. Скорость – функция времени.

1.12. Среднее ускорение

При движении тел скорость в общем случае может изменяться как по величине, так и по направлению.

Примерами такого движения являются движение Солнечной системы вокруг центра нашей Галактики или движение поезда при торможении и т. д. Равномерное движение м. т. по окружности является примером, когда ее скорость изменяется по направлению, оставаясь постоянной по величине. Если м. т. движется по некоторой траектории, изменяя величину и направление скорости, то для характеристики ее движения уже недостаточно знать перемещение и скорость, нужно знать еще и быстроту изменения скорости, т. е. ускорение .

Пусть м. т. в некоторый момент времени t 1 находится в пункте М 1 и движется со скоростью , а в момент времени t 2 – в пункте М 2 – со скоростью (рис. 10).

Перенесем вектор параллельно самому себе в точку М 1 так, чтобы совпали начала векторов и.

Тогда разность векторов иесть вектор изменения (приращения) скорости за промежуток времениt = t 2 – t 1 , т. е.

. (19)

Вектор среднего ускорения равен отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.

Следовательно,

. (20)

Вектор среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости и, направлен внутрь кривизны траектории.

Одному векторному уравнению (1.20) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора среднего ускорения на оси координат

Модуль вектора среднего ускорения

. (22)

За единицу измерения ускорения в СИ принят метр на секунду в квадрате.

Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Задание	Закон движения точки по прямой задается уравнением . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.
Решение	Мгновенная скорость точки – это радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать: Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение:
Ответ	Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки м/с.

ПРИМЕР 3

Задание	Тело движется по прямой так, что его координата (в метрах) изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
Решение	Найдем мгновенную скорость тела:

Мгновенная скорость движения.

Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна x(t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе.

Поставим задачу: по известной зависимости x(t) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью ). Если зависимость х(t) линейна, ответ прост: в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее.

Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден Эту скорость легко найти, сделав в момент времени t 0 фотоснимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t). Чтобы найти скорость v мгн (t 0), зная х(t), на уроках физики вы поступали следующим образом

Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Δt| от t 0 до t 0 + Δt следующая:

Как мы предположили, тело движется плавно. Поэтому естественно полагать: если?t очень мало, то за этот промежуток времени скорость практически не меняется. Но тогда средняя скорость (на этом промежутке) практически не отличается от значения v мгн (t 0), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти v ср (Δt) и посмотреть, к какому значению оно близко, если считать, что Δt практически не отличается от нуля.

Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью V 0 . Высота его в момент t находится по известной формуле

1) Найдем сначала Δh:

3) Будем теперь уменьшать Δt, приближая его к нулю. Для краткости говорят, что Δt стремится к нулю. Это записывается так: Δt → 0 Как легко понять, в этом случае значение -gΔt/2 тоже стремится к нулю, т. е.

А поскольку величины V 0 и –gt 0 , а значит, и V 0 -gt 0 постоянны, из формулы (1) получаем:

Итак, мгновенная скорость точки в момент времени t 0 находится по формуле

В общих целях нахождение скорости объекта (v) – простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt) , то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела. .

Шаги

Часть 1

Вычисление мгновенной скорости

1. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени), то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне – члены с переменной t (время). Например:
   

   s = -1.5t 2 + 10t + 4

   • В этом уравнении: Перемещение = s . Перемещение – пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 - 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м). Время = t . Обычно измеряется в секундах.

2. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, вы должны вычислить производную этого уравнения. Производная – это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*x n , то производная = a*n*x n-1 . Это правило применяется к каждому члену многочлена.

   • Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
     

     s = -1.5t 2 + 10t + 4
     (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t + 10

3. Замените "s" на "ds/dt", чтобы показать, что новое уравнение – это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная – это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t 2 + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.

   • В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени. Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время – в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с – правильная.

   Часть 2

   Графическая оценка мгновенной скорости

   1. Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке). Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.

      • По оси Y откладывайте перемещение, а по оси Х - время. Координаты точек (х,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
      • График может опускаться ниже оси Х. Если график перемещения тела опускается ниже оси Х, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не будет распространяться за ось Y (отрицательные значения х) – мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!

   2. Выберите на графике (кривой) точку Р и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке Р, используем понятие предела. Предел – состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.

      • Например, рассмотрим точки Р(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке Р.

   3. Найдите наклон отрезка РQ. Наклон отрезка РQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами H = (y Q - y P)/(x Q - x P), где H – наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке Р. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке Р. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки Р остаются прежними):
      

      Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1.8)/(1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Чем меньше расстояние между точками Р и Q, тем ближе значение Н к наклону графика в точке Р. При предельно малом расстоянии между точками Р и Q, значение Н будет равно наклону графика в точке Р. Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.

      • В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения Н: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке Р равен 2.
      • Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).

   Часть 3

   Примеры

   1. Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).

      • Сначала вычислим производную этого уравнения:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

      • Теперь вычислим H:
        

        Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
        H = (4.5)/(.5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).
   • Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод в части первой, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени - все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
   • Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от х (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной х, то есть в нашем примере =6.
   • Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.