проф. П. Ф. Севрюков ,
, Ставропольский КрИПКРО, г. Ставрополь

Серьёзные ошибки в несерьёзных задачах

Нередко при решении простых, на первый взгляд, физических задач встречаются досадные небрежности, которые оказываются существенными даже при анализе условия задачи. Особенно часто это имеет место в задачах по механике, в которых, казалось бы, всё достаточно понятно и можно даже «потрогать руками». Рассмотрим несколько стандартных простых случаев.

Начнём с задач, в которых необходимо чётко уяснить смысл условия, а уже потом пытаться их решить. Это, скорее, задачи логические. Самое интересное, что они могут быть заданы и учителями математики.

Задача 1. Крокодил Гена с Чебурашкой плыли вверх по течению реки. Гена сидел на вёслах, а Чебурашка, сидя на корме, ел апельсины. В момент, когда лодка проплывала под мостом, а Гена был поглощён движением, Чебурашка заснул и нечаянно столкнул ящик с апельсинами в воду. Через полчаса Гена обнаружил пропажу ящика с апельсинами, развернул лодку по течению реки и стал догонять уплывающий ящик; ещё через полчаса выловил его на расстоянии двух километров ниже моста по течению реки. Какова скорость течения реки?

Решение. Ясно, что нужно просто внимательно прочитать условие задачи. За час ящик проплыл 2 км, следовательно, скорость течения реки 2 км/ч.

Следующая задача хорошо известна, она встречается в книге «Живая математика» Я.И.Перельмана .

Задача 2. Охотник, войдя в лес, видит на дереве белку. Белка выглядывает из-за ствола, смотрит на охотника, а сама охотнику не показывается. Охотник начинает медленно обходить дерево вокруг. Белка, цепляясь коготками за кору дерева, перемещается по стволу так, что всё время, выглядывая из-за ствола, смотрит на охотника, но свою спинку и хвостик охотнику не показывает. Охотник три раза обошёл вокруг дерева, сколько раз он обошёл вокруг белки?

Решение. Решая задачи подобного типа (а именно такие задачи появляются на олимпиадах 7–8-го классов), нужно чётко понимать, что в задачу нельзя добавлять «от себя» ни одного слова, поскольку при этом мы невольно производим подмену условия. Обратим внимание на то, что из условия задачи нельзя понять, что означает фраза «обойти вокруг белки». Эта задача допускает два варианта подхода.

Если мы будем считать, что «обойти вокруг белки», – это увидеть спинку белки, то охотник не обошёл вокруг белки ни разу. Если же «обойти вокруг белки» – обойти вокруг того места, где сидит белка (дерево), то охотник обошёл вокруг белки три раза. Полный ответ на вопрос, поставленный в задаче, состоит в разборе двух рассмотренных вариантов.

Рассмотрим задачу статики.

Задача 3. На упругой нерастяжимой нити висит шарик массой m , имеющий заряд q . Где нужно расположить шарик, имеющий заряд Q , чтобы натяжение нити уменьшилось в три раза?

Решение. Ясно, что при отсутствии кулоновской силы натяжение нити Т по величине равно силе тяжести mg . Кажется, что сила натяжения нити уменьшится, если сила Кулона F будет направлена вертикально вверх. Её можно найти из соотношения T 1 + F – mg = 0 (это видно из рисунка).

T 1 = 1/3 mg ; F = mg - 1/3mg = 2/3mg .

Сила Кулона где R – расстояние от заряда q до заряда Q, k – постоянная Кулона. При этом в случае, если заряды q и Q одноимённы, заряд Q нужно расположить под зарядом q , а в случае, если они разноимённы, – на нити подвеса. Расстояние до заряда Q находится из соотношения

Примечание. Это «правильное» решение требует дополнительного обоснования. Не совсем понятно, почему заряд Q не может находиться в стороне от вертикали. Предположим, что это возможно. Покажем приложенные к заряду на нити силы на рисунке. Сила натяжения T 1 , равная по модулю 1/3mg , сила тяжести mg и сила Кулона F должны в сумме давать нуль: F + mg + T 1 = 0. В проекции на ось Y :

T 1 cosα – mg = 0; · cosα – mg = 0,

откуда cosα = 3, что не может быть, поскольку |cosα| ≤ 1.

Теперь при решении задачи совершенно строго показано, что заряд Q должен быть расположен на одной вертикали с нитью подвеса. (К сожалению, доказано нестрого. Судя по рисунку, автор расположил заряд Q на одной высоте с шариком m . Это лишь частный случай. – Ред. )

Рассмотрим несколько несложных задач кинематики точки. Обратим внимание на то, что в многочисленных тестах часто используются величины, не относящиеся к системе СИ, причём переходить к системным единицам не всегда целесообразно.

Задача 4. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начального положения шарик побывал дважды: через 1 с и через 3 с после начала движения. Найдите максимальное расстояние, на которое шарик смог откатиться вверх. Считать движение шарика прямолинейным и равноускоренным.

Решение. Обратим внимание на то, что трение в задаче не упоминается. В реальности шарик, вкатываясь на наклонную плоскость, замедляет своё движение, двигаясь до верхней точки 2 с, останавливается, а потом катится вниз по наклонной плоскости. Ясно, что при движении вверх и вниз шарик проходит расстояние от начала наклонной плоскости (точка А ) до верхней точки (точка О ) и обратно за одно и то же время. Воспользуемся обратимостью движения.

Рассмотрим движение шарика сверху вниз. В точке О шарик начинает движение без начальной скорости и проходит расстояние ОВ = s за 1 c, а расстояние ОА = s + 30 за 2 с, имея одно и то же ускорение а .

Запишем два уравнения движения для отрезков ОВ и ОА (в тестах нет смысла подробно расписывать решение):

Исключая из них а (например, разделив второе уравнение на первое), получаем s = 10 cм. Окончательно ОА = s + 30 = 40 (см).

Примечание. Выбор противоположного направления движения (снизу вверх) приводит к необходимости учитывать начальную скорость, с которой шарик вкатывается на наклонную плоскость. Решение простой задачи при этом сильно усложняется.

Задача 5. Мяч бросили с начальной скоростью 20 м/с под углом 60° к горизонту. На какой высоте скорость мяча будет направлена под углом 45° к горизонту? Ускорение свободного падения g считать равным 10 м/с.

Решение (1-й способ). Будем считать, что мяч в момент броска находится в начале координат (x 0 = 0; y 0 = 0) и имеет проекции скорости υ 0x = υ 0 cos60°; υ 0y = υ 0 sin60°. Ясно, что горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной, поскольку за счёт вертикально направленного ускорения свободного падения будет изменяться только вертикальная составляющая скорости:

υ x = υ 0x = υ 0 cos60° = 10;

υ y = υ 0y – gt = υ 0 sin60° – gt = 10– 10t .

Из условия задачи следует, что требуется найти высоту, на которой горизонтальная и вертикальная составляющие скорости равны, т.е. справедливы соотношения υ x = υ y = 10; 10 = 10– 10t , откуда находим момент времени t =- 1, когда мяч находится на заданной высоте.

Примечание (2-й способ). Хорошо известная формула связи скоростей, ускорения движения точки и дуговой координаты υ 2 - υ 0 2 = 2a τ s является следствием теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки, и формулой кинематики может считаться с большой натяжкой.

Для рассмотренной задачи эта формула даёт решение с учётом постоянства горизонтальной составляющей скорости, следовательно, и равенства проходимых по горизонтали расстояний за равные промежутки времени, а также равенства составляющих скорости в искомой точке:

Без подробных комментариев второй способ решения не может считаться обоснованным.

Обратим внимание на некорректность некоторых обоснований при использовании законов сохранения и общих теорем механики.

Задача 6. Снаряд массой 25 кг, имеющий скорость 300 км/ч, находясь в верхней точке траектории, разрывается на две части. Часть массой 15 кг после взрыва летит по направлению полёта снаряда со скоростью 400 км/ч. Определите скорость второй части снаряда в момент взрыва.

Решение. Достаточно часто в решебниках встречается ремарка: «Будем считать систему замкнутой, тогда…» Но, по условию задачи, система замкнутой не является: и на снаряд, и на оба осколка действуют нескомпенсированные силы тяжести, являющиеся внешними! При этом закон сохранения импульса выполняется, только причина сохранения объясняется по-другому.

Примечание. Импульс системы сохраняется при равенстве нулю правой части уравнения закона изменения импульса системы. При постоянстве внешних сил в нашей задаче изменение импульса системы происходит за время t : (mυ 1 + mυ 2) – mυ = F внеш t , где F внеш = mg – равнодействующая всех действующих внешних сил – сила тяжести, действующая на снаряд или оба осколка.

Закон сохранения импульса выполняется либо в замкнутой системе (F внеш = 0, не действуют внешние силы), либо при кратковременном ударе, взрыве (t = 0).

В нашем случае закон сохранения импульса mυ = mυ 1 + mυ 2 в проекциях на горизонтальную ось даёт при направлении векторов скорости осколков вдоль оси, совпадающей по направлению с вектором скорости снаряда в момент взрыва: 25 · 300 = 15 · 400 + 10υ 2 ; υ 2 = 150 км/ч (по направлению движения снаряда).

Рассмотрим задачу динамики, две части которой принципиально отличаются.

Задача 7. На горизонтальной плоскости лежат связанные тела массами m и 2m . Коэффициент трения между каждым из тел и плоскостью равен f . Какую силу нужно приложить к телу меньшей массы, чтобы оба тела сдвинулись с места? Рассмотрите случаи, когда тела связаны нерастяжимой нитью и пружиной.

Решение 1. Рассмотрим случай, когда два тела связаны нерастяжимой нитью.

Этот тривиальный случай (длина нити не изменяется, следовательно, система тел вместе с нитью может рассматриваться в данной задаче как единое недеформируемое целое) рассматривается в статике при рассмотрении равновесия при наличии трения. Ясно, что силы тяжести mg и 2mg и нормальные реакции N 1 и N 2 , приложенные к каждому из тел, перпендикулярны линии действия силы F и влияют только на величины сил трения: F 1 = fmg и F 2 = 2fmg (силы трения F 1 и F 2 , очевидно, должны быть направлены в сторону, противоположную направлению силы F ). Силы натяжения нити T 1 и T 2 , приложенные к двум телам и направленные вдоль нити, являются внутренними для системы тел, и при нерастяжимости нити друг друга компенсируют.

Тогда при величине силы F > 3fmg оба тела одновременно будут сдвинуты с места.

Решение 2. Случай, когда два тела связаны между собой пружиной жёсткостью k , качественно отличается от ранее рассмотренного случая с нитью. Обратим внимание на то, что сначала, увеличивая величину силы F , мы сдвигаем с места тело массой m (при этом сила упругости возрастает пропорционально удлинению пружины), а только при равенстве силы упругости силе трения, действующей на тело массой 2m , большее тело будет сдвинуто с места и выполнится условие, поставленное в задаче.

Итак, если F упр > F тр2 , то

2fmg < kx , (1)

и тело массой 2m будет сдвинуто с места.

Поскольку сила упругости не является постоянной, рассмотрим, какую работу совершат все приложенные к телу массой m силы при растяжении пружины на величину х . Такой подход при малом х в классической механике называется методом возможных перемещений .

Итак (с учётом направления векторов сил), работа внешней силы должна быть равна сумме работ силы трения и силы упругости: Поскольку х ≠ 0, получаем а с учётом соотношения (1) F > 2fmg .

Примечание 1. В решении подобных задач встречается «усреднение» силы упругости, изменяющейся от 0 до значения kx , как kx /2, при этом подгонка под ответ при помощи усреднения никак не обосновывается.

Примечание 2. Мы получили почти парадоксальный результат. Вспомним, сколько раз мы видели пружины в сцепках между вагонами на железнодорожных вокзалах!

Задачи на движение встречаются и в школьном курсе математики. Эти задачи (особенно в разделе «Производная») требуют очень внимательного отношения. Для примера рассмотрим задание № 5 варианта 96 из . Не секрет, что учителя математики обращаются при решении таких задач за помощью к физикам и не всегда получают квалифицированный ответ .

Задача 8. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону s = 0,5t 2 – 3t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите минимальное расстояние, на которое тело приблизится к точке А .

Решение. Ясно, что речь идёт о движении точки, а не тела, поскольку имеющее размеры тело не может двигаться по прямой. Простим эту некорректность математикам. Попытаемся решить задачу как классическую задачу «на экстремум»:

s ′= t – 3 ⇒ s ′= 0 ⇒ t = 3.

Ясно, что, когда тело находится в точке А , расстояние между точкой и телом минимально (равно 0). Решение квадратного уравнения 0,5t 2 – 3t + 4 = 0 даёт моменты времени 2 с и 4 с.

Примечание 1. Несложно проверить, что в интервале времени от 2 до 4 с «расстояние» отрицательно. Задача имеет реальный физический смысл только первые 2 (!) секунды движения. Данное задание во всех знакомых мне решебниках выполнено с ошибками: или берётся модуль полученного расстояния, или указывается, что расстояние равно нулю при t = 2 и t = 4 (мне пришлось держать в руках более десятка «опусов»).

Напомню, что расстояние есть функция неотрицательная, непрерывная. Дадим иллюстрацию к рассмотренной задаче.

Функция s терпит разрыв – становится отрицательной при 2 < t < 4!

В 5-м издании Г.В.Дорофеев исправил ошибку условия: s = 0,5t 2 – 3t + 8 (м). При таких условиях задача решается как экстремальная и получается ответ 3,5 м.

Примечание 2. Обратим внимание на то, что, по условию задачи, не требуется указать момент времени, когда искомое расстояние минимально. Отвечая именно на поставленный вопрос (без указания моментов времени), мы избегаем лишних ошибок.

Достаточно часто в задачах по механике понятия «перемещение», «расстояние» и «координата» путаются . Обратим внимание при решении следующей задачи на то, что при движении по прямой пройденный путь и перемещение совпадают только в том случае, когда вектор скорости не изменяет направления!

Задача 9. Точка движется по прямой так, что её координата изменяется по закону x = t 2 – 4t + 10 (м), где t – время движения в секундах. Для момента времени t = 5 c найдите координату точки. Найдите перемещение точки, совершённое за первые 5 с движения, и расстояние, пройденное за это время.

Решение. Координата точки при t = 5 c равна x (5) = 25 – 20 + 10 = 15 м.

Начальная координата точки при t 0 = 0 c равна х (0) = 10 м.

Перемещение найдём как разность конечной и начальной координат точки: х = х (5) – х (0) = 15 – 10 = 5 м.

Найдём закон изменения скорости со временем: υ = x ′= 2t – 4 м/с. Это можно сделать и без использования производной, записав в явном виде закон движения по прямой как x =x 0 + υ 0 t + at 2 /2 = 10 – 4t + t 2 ⇒ υ = υ 0 + at = –4 + 2t .

Очевидно, что первые 2 с точка движется в сторону, противоположную направлению оси X (υ < 0), останавливается (υ (2) = 0 м/с), а потом движется в направлении, совпадающем с направлением координатной оси.

Найдём координату остановки (поворота):

х (2) = 4 – 8 + 10 = 6 м.

В первые 2 с был пройден путь |х (2) – х (0)| = 4 м при уменьшении координаты точки. В последующие 3 с был пройден путь |х (5) – х (2)| = 9 м. За 5 с пройдено расстояние s = 4 + 9 = 13 м.

Литература

1. Перельман Я.И. Живая математика. – М.: Учпедгиз, 1953.
2. Дорофеев Г.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. Изд. 3-е. – М.: Дрофа, 2002.
3. Севрюков П.Ф. Задачи на движение: простые и не очень. – Математика в школе, 2008, № 10.
4. Севрюков П.Ф. О некоторых понятиях и определениях школьного курса механики. – «Физика-ПС», 2008, № 19.

Технологическая карта

организованной учебной деятельности старшая группа

Область: Здоровье Раздел: Физическая культураЦели : Учить ходить по наклонной доске боком; перепрыгивание на двух ногах через шнур; перебрасывать мяч, двумя рука­ми из-за головы,стоя на коленях. Развивать ловкость, координацию движения; упражнять в ходьбе по залу, не сре­зая углов, ходьба на носках, пятках, построение в колонну, перестро­ение из колонны в 3 колонны, равнение на вытянутые руки вперед. Бег врассыпную, змейкой, по сигналу - смена ведущего. Оборудование : наклонная доска, шнур. Трехъязычный компонент : счет на русском, казахском,английском языке.

Этапы деятельности	Действия воспитателя	Действия детей
Мотивационно- побудительный	1 часть. Построение. Ходить по залу, не срезая углов, ходьба на носках, пятках, внутренней -внешней стороне стопы, гусиным шагом. Ходьба приставным шагом в чередовании с бегом. Восстановление дыхания.	Проявляется интерес
Организационно – поисковый	2 часть. Основная. ОРУ «Вперед, вверх, в стороны». И.п.: о.с., руки вниз. 1 - руки вперед; 2 - руки вверх; 3 - руки в стороны; 4 - и.п. (6-8 раз) «Шаг вперед». И.п.: о.с., руки вниз. 1 - шаг правой ногой вперед, руки в стороны; 2 - и.п. То же левой ногой. (6-8 раз) «Коснись носков». И.п.: сидя на полу, руки у груди. 1 - на­клон вперед к правой (левой) ноге, коснуться пальцами носков; и.п. (6 раз) «Повороты». И.п.: стоя на коленях, руки у груди. 1- пово­рот вправо (влево), руки в стороны; 2 - и.п. (6 раз) «Руки назад».И.п.: ноги слегка расставить, руки вниз.1 - руки вверх; 2 - присед с наклоном вперед, руки вниз- на­зад; 3 - выпрямиться, руки вверх; 4 - и.п. (6 раз) «Ходьба и прыжки». И.п.: ноги слегка расставить, руки на поясе. Прыжки: ноги врозь, руки в стороны. 10 прыжков, чередуя с ходьбой. Закончить обычной ходьбой и упражнениями на дыхание. Основные виды движений. Ходьба по наклонной доске боком, приставным шагом. Перебрасывание мяча двумя руками из-за голо­вы стоя на коленях (расстояние 1,5-2 м). Перепрыгивание на двух ногах через шнур.	Выполняют упражнения Выполняют основные виды упражнений.
Рефлексивно – корригирующий	3. Заключительная часть . Подведение итогов занятия.	Дети поднимают смайлы

Ожидаемый результат: Воспроизводит: упражнять в ходьбе по залу, не сре­зая углов, ходьба на носках, пятках, построение в колонну, обще развивающее упражнения.Понимает: Бег змейкой, перестроение в колону по двоеПрименяет: ходить по наклонной доске боком, приставным шагом, сохраняя равновесие

Боком (приставным шагом). Кружение парами, держась за руки.

Бег. Бег обычный, на носках, с высоким подниманием колена (бедра),

Мелким и широким шагом, в колонне по одному, по двое; змейкой, врас-

Сыпную, с препятствиями. Непрерывный бег в течение 1,5–2 минут в мед-

Ленном темпе, бег в среднем темпе на 80–120 м (2–3 раза) в чередовании

С ходьбой; челночный бег 3 раза по 10 м. Бег на скорость: 20 м примерно

За 5–5,5 секунды (к концу года - 30 м за 7,5–8,5 секунды). Бег по наклон-

Ной доске вверх и вниз на носках, боком, приставным шагом. Кружение

Парами, держась за руки.

Ползание и лазанье. Ползание на четвереньках змейкой между пред-

Метами в чередовании с ходьбой, бегом, переползанием через препятс-

твия; ползание на четвереньках (расстояние 3–4 м), толкая головой мяч;

Ползание по гимнастической скамейке, опираясь на предплечья и колени,

На животе, подтягиваясь руками. Перелезание через несколько предметов

Подряд, пролезание в обруч разными способами, лазанье по гимнасти-

Ческой стенке (высота 2,5 м) с изменением темпа, перелезание с одного

Пролета на другой, пролезание между рейками.

Прыжки. Прыжки на двух ногах на месте (по 30–40 прыжков 2–3 ра-

За) в чередовании с ходьбой, разными способами (ноги скрестно, ноги

Врозь, одна нога вперед - другая назад), продвигаясь вперед (на рассто-

Яние 3–4 м). Прыжки на одной ноге (правой и левой) на месте и продви-

Гаясь вперед, в высоту с места прямо и боком через 5–6 предметов - по-

Очередно через каждый (высота 15–20 см). Прыжки на мягкое покрытие

Высотой 20 см, прыжки с высоты 30 см в обозначенное место, прыжки в

Длину с места (не менее 80 см), в длину с разбега (примерно 100 см), в вы-

Соту с разбега (30–40 см). Прыжки через короткую скакалку, вращая ее

Вперед и назад, через длинную скакалку (неподвижную и качающуюся).

Бросание, ловля, метание. Бросание мяча вверх, о землю и ловля его

Двумя руками (не менее 10 раз подряд); одной рукой (правой, левой не ме-

Нее 4–6 раз); бросание мяча вверх и ловля его с хлопками. Перебрасывание

Мяча из одной руки в другую, друг другу из разных исходных положений

И построений, различными способами (снизу, из-за головы, от груди, с

Отскоком от земли). Отбивание мяча о землю на месте с продвижением

Шагом вперед (на расстояние 5–6 м), прокатывание набивных мячей (вес

Кг). Метание предметов на дальность (не менее 5–9 м), в горизонтальную

И вертикальную цель (центр мишени на высоте 1 м) с расстояния 3–4 м.

Групповые упражнения с переходами. Построение в колонну по од-

Ному, в шеренгу, круг; перестроение в колонну по двое, по трое; равнение

В затылок, в колонне, в шеренге. Размыкание в колонне - на вытянутые

Руки вперед, в шеренге - на вытянутые руки в стороны. Повороты напра-

Во, налево, кругом переступанием, прыжком.

Ритмическая гимнастика. Красивое, грациозное выполнение знако-

Мых физических упражнений под музыку. Согласование ритма движений

С музыкальным сопровождением.

Общеразвивающие упражнения

Упражнения для кистей рук, развития и укрепления мышц плечевого

Пояса. Разводить руки в стороны из положения руки перед грудью; под-

Нимать руки вверх и разводить в стороны ладонями вверх из положения

Руки за голову. Поднимать руки со сцепленными в замок пальцами (кис-

Ти повернуты тыльной стороной внутрь) вперед-вверх; поднимать руки

вверх-назад попеременно, одновременно. Поднимать и опускать кисти;

Сжимать и разжимать пальцы.

Упражнения для развития и укрепления мышц спины и гибкости

Позвоночника. Поднимать руки вверх и опускать вниз, стоя у стены и

Касаясь ее затылком, плечами, спиной, ягодицами и пятками. Поочередно

Поднимать согнутые прямые ноги, прижавшись к гимнастической стенке и

Взявшись руками за рейку на уровне пояса. Поворачиваться, разводя руки

1. По гладкой наклонной доске пустили катиться снизу вверх маленький брусок. На расстоянии l = 30 см брусок побывал дважды: через t 1 = 1 с и через t 2 = 2 c после начала движения. Определить начальную скорость бруска υ 0 .

2. С башни брошен камень в горизонтальном направлении с начальной скоростью 40 м/с. Какова скорость камня через 3 с после начала движения? Какой угол образует вектор скорости камня с плоскостью горизонта в этот момент.

3. На толкание ядра, брошенного с высоты h = 1,8 м под углом α = 30º к горизонту, затрачена работа А = 216 Дж. Через какое время t и на каком расстоянии s от места бросания ядро упадёт на землю? Масса ядра m = 2 кг.

4. Тело брошено горизонтально со скоростью v 0 = 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через t = 2 с после начала движения.

5. Снаряд вылетел со скоростью 30 м/с под углом 60° к горизонту. Чему равен радиус кривизны траектории снаряда через 2 с после выстрела?

6. Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории мяча через 1 с после броска.

7. Мяч брошен со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найти υ 0 и α, если максимальная высота подъема мяча h = 3 м, радиус кривизны траектории мяча в этой точке R = 3 м.

8. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы центр кривизны его траектории в вершине находился на земле?

9. Диск радиусом 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с 2 . Найти касательное, нормальное и полное ускорение точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

10. Диск радиусом R =10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением υ=At +Bt 2 (А =0,3 м/с 2 , В = 0,1 м/с 3). Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол φ=4 0 .

11. Материальная точка начинает движение по окружности радиуса 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 см/с 2 . Определить момент времени, в который угол между векторами ускорения и скорости равен 45° и путь, пройденный точкой до этого момента.

12. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом r = 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением a τ = 0,5 см/с 2 . Определить: 1) момент времени, когда вектор ускорения образует с вектором скорости угол α = 45°; 2) величину перемещения к этому моменту.

13. Материальная точка движется в плоскости по закону: , где и – положительные постоянные. Найти момент времени, когда угол между скоростью и ускорением будет равен 45°.

14. Зависимость угла поворота от времени для точки, лежащей на ободе колеса радиуса R , задается уравнением , где A =1 рад/c 3 , B =0,5 рад/c 2 , C =2 рад/c, D =1 рад. К концу третьей секунды эта точка получила нормальное ускорение, равное 153 м/с 2 . Определить радиус колеса.

15. R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением S =At 3 , где А =0,1 см/с 3 . Найти нормальное (а n ) и тангенциальное (а τ) ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки υ = 0,3 м/с.

16. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением а τ . Найти тангенциальное ускорение а τ точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки υ = 79,2 см/с.

17. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R = 10 м. Уравнение движения автомобиля (м/с 2). ( -означает криволинейную координату, отсчитанную от некоторой начальной точки на окружности). Найти полное ускорение a в момент времени t = 5 с.

18. Точкадвижется по окружности радиусомR = 2 м согласно уравнению S = At 3 , где А = 2 м/с 3 . В какой момент времени t нормальное ускорение а n будет равно тангенциальному а τ ? Определить полное ускорение в этот момент времени. (S – путь, проходимый телом).