Уравнение плоскости второго порядка примеры

16.04.201827.05.2017

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности точку

M (x;y;z). Проведем через точку

М плоскость, перпендикулярную

оси oz, и обозначим точки

пересечения ее с осью oz

и кривой L соответственно O 1 и N.

Обозначим координаты точки

N (0;y 1 ;z 1). Отрезки O 1 M и O 1 N

являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O 1 M = O 1 N. Но O 1 M = (x 2 +y 2) 0.5 , O 1 N=|y 1 |.

Следовательно, |y 1 |=(x 2 +y 2) 0.5 или y 1 =±(x 2 +y 2) 0.5 . Кроме того, очевидно, z 1 =z.

Следовательно – искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гиперболоид.

Эллипсоид.

Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями:

Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостямиz=h нет.

Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскостиz=c и z=–c касаются поверхности.

Если |h|

Линия пересечения есть эллипс с полуосями.

Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным . Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x 2 +y 2 +z 2 =R 2

Однополостный гиперболоид.

Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид.

Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a 1 =a, b 1 =b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.

Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:

Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом .

Двуполостный гиперболоид.

Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями

Если |h|

Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).

Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом .

28. Поверхности 2-го порядка. Параболоиды.

Эллиптический.

При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается соответственно параболы и. Таким образом, поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.

Гиперболический.

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую

которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых:

При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.

Скачать с Depositfiles

Лекция № 12. Тема 6: Поверхности

6.1. Уравнение поверхности

Аналогично, как и для случая линии на плоскости, уравнение поверхности – это уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на поверхности. Верно и обратное, т.е. каждое уравнение вида

, (1)

вообще говоря, определяет некоторую поверхность в пространстве. Если уравнение (1) не удовлетворяется координатами ни одной точки, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность. В дальнейшем такие случаи рассматривать не будем.

Пример 1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке

.

Пусть

 текущая точка сферы, тогда для вектора

с координатами должно выполняться условие

которое и является искомым уравнением сферы.

Рассмотрим один из часто встречающихся случаев – поверхности вращения . Пусть, например, в плоскости O yz z

задана некоторая линия, уравнение которой М 1

. Найдём уравнение поверхности, M

полученной вращением этой линии вокруг

оси O z . N

Возьмём произвольную точку O у

этой поверхности и проведём плоскость,

перпендикулярную оси O y . Очевидно, что х

в сечении получим окружность с центром

в точке N . Тогда

. С другой стороны, радиус этой окруж-ности

, где точка М 1 принадлежит линии . Следовательно, для всех точек поверхности вращения должно выполняться уравнение

Аналогично можно получать уравнения поверхностей вращения относительно других координатных осей.

Пример 2. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса

в плоскости O xy вокруг оси O x .

Для этого случая нужно провести замену

в уравнении эллипса. Тогда получим уравнение

, которое определяет поверхность так называемого эллипсоида вращения .

6.2. Поверхности второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана поверхность, определяемая уравнением второй степени

где коэффициенты

одновременно не равны нулю. Эта поверхность называется поверхностью второго порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2) :

1. Эллипсоид . Его каноническое уравнение

.

Чтобы составить представление об этой поверхности, проведём сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Предварительно заметим, что при замене уравнение эллипсоида не изменяется – это означает, что эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей. Например, пересекая эллипсоид плоскостями

, получаем в сечениях эллипсы вида

с полуосями

. Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении

а при увеличении h эллипсы уменьшаются, вырождаясь в точку при

. Аналогичная картина будет в сечениях плоскостями . На основании таких исследований можно определить вид эллипсоида.

a

b b y

x  c

Так же можно получить вид следующих поверхностей:

2. Однополостный гиперболоид  z

3. Двуполостный гиперболоид 

4. Эллиптический параболоид 

x y

5. Гиперболический параболоид 

.

6. Конус 

z

7. Эллиптический цилиндр 

8. Гиперболический цилиндр 

9. Параболический цилиндр  z

10. Пара пересекающихся плоскостей  .

Какие еще могут быть варианты взаимного расположения прямой с однополостным гиперболоидом?

Классификация кривых второго порядка.

Рассмотрим общее уравнение второго порядка (11.5):

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

1. Если собственные числа матрицы А λ 1 и λ 2 одного знака, уравнение (11.5) называется уравнением эллиптического типа . Его можно привести к виду (11.7): , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:

а) если имеет тот же знак, что и λ 1,2 , при делении на получаем

Каноническое уравнение эллипса.

б) если =0, уравнение имеет единственное решение: , определяющее точку на плоскости .

в) если знак противоположен знаку λ 1,2 , уравнение после деления на примет вид:

. Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом ).

2. Если собственные числа матрицы А λ 1 и λ 2 разных знаков, уравнение (11.5) называется уравнением гиперболического типа .

а) при оно сводится к одному из двух видов:

Или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу .

б) При =0 получаем уравнение , эквивалентное двум линейным уравнениям: и , задающим пару пересекающихся прямых .

3. Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (11.5) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:

а) к уравнению (11.8): , определяющему параболу ;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых ;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка .

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:

1. Если λ 1 , λ 2 , λ 3 – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а) - (12.2)

каноническое уравнение эллипсоида .

Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.

б) - (12.3)