Разложение в ряд тейлора

Асимптотическое сравнение функций

Элементарные функции

Асимптоты

Типы разрывов функции

Применение пределов к исследованию функций

Устранимый разрыв : функция имеет предел в точке a, не совпадающий с ее значением в этой точке. Устраняется заменой одного значения функции.

Разрыв первого рода (скачок ): функция имеет конечные пределы слева и справа, но они не совпадают между собой.

Разрыв второго рода: все остальные случаи (один из односторонних пределов не существует или бесконечен).

Прямая называется асимптотой функции y = f(x) если графики прямой и функции бесконечно приближаются друг к друга при x или y стремящемся к ¥.

Вертикальная прямая x = a является асимптотой, если функция f(x) ® ¥ при x, стремящемся к a слева или справа.

Наклонная прямая y = kx + b является асимптотой, если разность f(x) – (kx + b) стремится к 0, т.е. f(x) = kx + b + о(1). При этом k = , b = . Вместо ¥ можно взять +¥ или –¥.

При k = 0 асимптота называется горизонтальной .

Простейшие элементарные функции xa, ax задаются сначала на множестве рациональных чисел, а потом продолжаются на вещественные значения «по непрерывности», т.е. так, чтобы полученная функция оказалась непрерывной. При этом используется свойство равномерной непрерывности функции, заданной на Q.

Функции sin, cos строятся исходя из их свойств.

Обратные функции loga, arcsin, arccos строятся по теореме об обратной функции.

1. Функция f ограничена по сравнению с g на множестве A, если

|f(x)| £ C|g(x)| для всех x Î A и некоторой константы C.

Обозначение: f(x) = O(g(x)), x Î A. Читается: f есть О большое от g на A.

2. Функция f бесконечно мала по сравнению с g при x ® a, если

f(x) = a(x)·g(x), где a(x) ® 0 при x ® a.

Обозначение: f(x) = о(g(x)), x ® a. Читается: f есть о малое от g при x ® a.

3. Функция f эквивалентна g при x ® a, если

f(x) = a(x)·g(x), где a(x) ® 1 при x ® a.

Обозначение: f(x) ~ g(x), x ® a.

4. Асимптотическое равенство . Если f(x) ~ g(x), x ® a, то

f(x) = g(x) + r(x), где r(x) = о (g(x)), x ® a.

Здесь g есть главная часть f, а r – остаток .

5. Пусть f(x) = g1(x) + r1(x) и f(x) = g2(x) + r2(x) – асимптотические равенства при x ® a.

Второе равенство будет точнее первого, если r2(x) = o(r1(x)) при x ® a.

Таблица эквивалентностей

Пусть P(x) = anxn + … + amxm, где n ³ m,

P(x) ~ anxn при x ® ¥;

P(x) ~ amxm при x ® 0;

xa – 1 ~ a(x – 1) при x ® 1, a Î R; (1 + x)a – 1 ~ ax при x ® 0, a Î R;

sin x ~ x при x ® 0;

1 – cos x ~ при x ® 0;

tg x ~ x при x ® 0;

arcsin x ~ x при x ® 0;

arctg x ~ x при x ® 0;

ex – 1 ~ x при x ® 0; ax – 1 ~ x ln a при x ® 0, a Î R+;

ln x ~ x – 1 при x ® 1; ln (1 + x) ~ x при x ® 0;

Многочлен Тейлора Tfn,a функции f в точке a – это многочлен степени не выше n такой, что f(x) = Tfn,a + o((x–a)n) при x ® a.

В каждой точке у функции может быть не более одного многочлена Тейлора.

Многочлен Тейлора можно разложить по степеням (x–a), т.е.

Tfn,a = c0 + c1(x–a) + c2(x–a)2 + … + cn(x–a)n.

Отбрасывая в этой записи последние слагаемые, получим многочлены Тейлора меньшей степени.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.

Пример №1 . Разложить в степенной ряд функцию f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2 x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2 x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №2 . Написать ряд Тейлора по степеням (х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f"(x) = е x , f"(-4) = е -4 ;
f""(x) = е x , f""(-4) = е -4 ;
…
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,

Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4 . Разложить в степенной ряд функцию .
Решение . В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞

Пример №5 . Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а . Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3

Пример №7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Решение .


Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8 . Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение . Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Таким образом,
, (-∞

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:

• если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
• если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
• в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: ax).

Пример №1 . Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.



так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.

Пример №4 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Решение .
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р n (х) степени n:

ƒ(х)=Р n (х)=а 0 +а 1 х+а 2 х 2 +...+а n х n .

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х 0 , где х 0 - произвольное число, т. е. представим Р n (х) в виде

Р n (х)=А 0 +A 1 (x-х 0)+А 2 (х-х 0) 2 +...+А n (х-х 0) n (26.1)

Для нахождения коэффициентов А 0 , А 1 ,..., А n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р" n (х)=А 1 +2А 2 (х-x 0)+3A 3 (x-x 0) 2 +...+nA n (x-x 0) n-1 ,

Р n ""(х)=2А 2 +2 3А 3 (х-х 0)+...+n(n-1)А n (х-х 0) n-2 ,

Р n ""(х)=2 3А 3 +2 3 4А 4 (х-х 0)+...+n(n-1)(n-2)А n (х-х 0) n-3 ,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р n (n) (х)=n(n-1)(n-2)...2 1А n

Подставляя х=х 0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A 0 ,A 1 ,...,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Р n (х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Р n (х) степени n.

<< Пример 26.1

Разложить многочлен Р(х)=-4х 3 +3х 2 -2х+1 по степеням х+1.

Решение: Здесь х 0 =-1, Р"(х)=-12х 2 +6х-2, Р"(х)=-24х+6, Р""(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р"(-1)=-20, Р"(-1)=30, Р""(-1)=-24. Следовательно,

т. е. -4х 3 +3х 2 -2х+1=10-20(х+1)+15(х+1) 2 -4(х+1) 3 .

Ответ на 31 (2) вопрос:

Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х 0 ;х) такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Р n (х)+R n (x), где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. R n (х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Р n (х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Р n (х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R n (x).

Ответ на 31 (3) вопрос:

При х 0 =0 получаем частный случай формулы Тейлора - формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х (с=θx, 0<θ<1).

При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ(х)=ƒ(х 0)+ƒ"(с)(х-х 0) или ƒ(х)-ƒ(х 0)=ƒ"(с)(х-x 0), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ(х)≈ƒ(х 0)+ƒ"(х 0)(х-х 0) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

Билет №32. Формула Маклорена для e^x

Билет №33. Формула Маклорена для sinx

Билет №34. Формула Маклорена для cosx

Разложение функции cos x

Находим последовательно производные от f(x) = cos x .

При x = 0 получаем

Следовательно, формула Маклорена для функции cos x имеет вид

Так как , то

для любого фиксированного вещественного числа x . Таким образом, значения функцииcosx могут быть найдены приближенно по формуле

Билет №35. Формула Маклорена для ln(1+x)

 f(x) =ln (1+x ). Заметим, что область определения этой функции D(y) =(–1; +∞).

Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

Можно доказать, что если x  (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x  (–1;1].

Билет №36. Формула Маклорена для (1+х) в степени m

 f (x ) = (1+x ) m , где m  R, m≠0.

При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

И следовательно,

Можно показать, что при |x |<1

Билет № 37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

Функции нескольких переменных.

Определение . Если каждой паре (x,y ) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменения D , соответствует определенное значение величины z , то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y , определенная в области D .

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y 2 ,u=xy+z 2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0 .

Упорядоченная пара чисел (x,y ) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y) .

Чтобы задать функцию z =f (x,y ), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y , но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y .

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y 2 +4x 2 <1 с полуосями, а =0,5 и в =1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

Определение . Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w , то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записываетсяw =f (x,y,z…t ).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z ), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z =f(x,y) , заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z ) пространства, у которых (x,y ) принадлежит D , аz =f (x,y ). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z =4-x 2 -y 2 является параболоид.

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

Область определения.

Областью определения функции (выражения f(x) ) называют множество всех значений x , для которых функция (выражение) имеет смысл.
Область определения функции обозначается как или .

При нахождении области определения функции приходится решать различные неравенства (иррациональные, логарифмические, тригонометрические и т.п.) и системы неравенств.