Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .
Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.
Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.
Скрыть Показать
Основное свойство дроби
Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.
Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .
Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.
Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.
Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .
Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.
Приведение дробей к общему знаменателю
Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .
Арифметические действия над обыкновенными дробями
Сложение обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:
\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;
б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :
\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .
Вычитание обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:
\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;
б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .
Умножение обыкновенных дробей
Умножение дробей подчиняется следующему правилу:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,
то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.
Например:
\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .
Деление обыкновенных дробей
Деление дробей производят следующим способом:
\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,
то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .
Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .
Взаимно обратные числа
Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .
Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .
Десятичные дроби
Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .
Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .
Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.
Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .
В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .
Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .
Арифметические действия над десятичными дробями
Сложение десятичных дробей
Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.
Вычитание десятичных дробей
Выполняется аналогично сложению.
Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .
Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).
Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .
Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
.png)
Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:
.png)
Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.
2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь \(\frac{4}{8}\)
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь \(\frac{1}{2}\)
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
\(\frac{4}{8} = \frac{1 \cdot \color{red} {4}}{2 \cdot \color{red} {4}} = \frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}} =\frac{1}{2} \cdot \color{red}{1} = \frac{1}{2}\)
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители \(\frac{1 \cdot \color{red} {4}}{2 \cdot \color{red} {4}}\), а потом разделили дроби \(\frac{1}{2} \cdot \color{red} {\frac{4}{4}}\). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей .
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
\(\frac{6}{10} = \frac{3 \cdot \color{red} {2}}{5 \cdot \color{red} {2}} = \frac{3}{5} \cdot \color{red} {\frac{2}{2}} =\frac{3}{5} \cdot \color{red}{1} = \frac{3}{5}\)
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}\)
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
\(\frac{6}{8} = \frac{6 \div \color{red} {2}}{8 \div \color{red} {2}} = \frac{3}{4}\)
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
\(\bf \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}\)
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями .
Пример сократимой дроби: \(\frac{2}{4}, \frac{6}{10}, \frac{9}{15}, \frac{10}{5}, …\)
Так же есть и несократимые дроби .
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: \(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}, \frac{13}{5}, …\)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
\(7 = \frac{7}{1}\)
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: \(\frac{7}{11} = \frac{14}{22}\)?
Ответ: распишем дробь \(\frac{14}{22} = \frac{7 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{7}{11}\)
, да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби \(\frac{2}{3}\)
.
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби \(\frac{1}{5}\)
.
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{2}{3}\)
на 5.
\(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}\)
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac{1}{5}\) на 8. Получим:
\(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40}\)
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)\(\frac{16}{36}\),
б) \(\frac{10}{25}\)
.
Решение:
а) \(\frac{16}{36} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{9}\)
б) \(\frac{10}{25} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{2}{5}\)
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Решение:
а) \(13 = \frac{13} {1}\)
б) \(123 = \frac{123} {1}\)
Перед нами (см. видеоурок) одно целое яблоко. Если мы его разрежем на две равные части, то получим две дольки, каждая из которых равна одной второй всего яблока. То есть если всё яблоко - это "один", то одна долька - это "одна вторая".
А теперь разрежем такое же яблоко на четыре равные части. И здесь уже одна долька будет равна одной четвертой всего яблока. А две дольки? Две четвертых.
И вот что интересно - две четвертых яблока - это ведь столько же, сколько и одна вторая такого же яблока. И здесь, и здесь мы получили половину яблока. А это значит, что "одна вторая" равно "две четвертых".
А что было бы, если бы мы разрезали такое же яблоко на шесть равных частей и взяли бы три из них. Три дольки из шести - это то же половина яблока. Значит "три шестых" равно одной второй и двум четвертым. И так далее.
А чем отличаются все такие дроби? Смотрите: если мы числитель и знаменатель дроби "одна вторая" умножим на число два, то получим дробь "две четвертых", а если числитель и знаменатель дроби "одна вторая" умножим на три, то получим равную ей дробь "три шестых". И вообще на какое бы число (кроме нуля) мы не умножили числитель и знаменатель любой дроби, мы всегда получим дробь, равную исходной. Это и есть основное свойство дроби . Оно очень важное и на его основе выполняются практически все действия с дробями!
Итак, давайте сформулируем основное свойство дроби еще раз: "Если числитель и знаменатель дроби умножить (либо же разделить) на одно и то же число, то исходная дробь не изменится" . Важный момент здесь - умножать или делить на какое-то число мы должны и числитель и знаменатель одновременно! При этом дробь изменится только внешне, но она останется равной той дроби, которая у нас была изначально.
Зачем нам всё это нужно? Основное свойство дроби оказывается очень полезным при решении множества заданий, содержащих дроби. В частности, совсем не обойтись без этого свойства при сокращении дробей.
Сокращение дробей применяется для того, чтобы сделать дробь проще. Вообще сокращение дроби - это деление её числителя и знаменателя на одно и то же число. Согласно основному свойству дроби мы имеем право делить числитель и знаменатель одновременно на одно и то же число. И если есть такое число, на которое делится и числитель и знаменатель, то после этого деления дробь, несомненно станет проще.
Например, перед нами дробь "шестнадцать пятьдесят вторых". И 16, и 52 делятся на 4. Вот и делим. Получаем "четыре... тринадцатых". Стала дробь проще? Конечно. Вот для этого и применяется сокращение дробей.
"Ну это все легко, а бывают же примеры и куда сложнее" - скажете вы. Соглашусь с вами. Но правило есть одно и оно подходит для всех примеров. Вот, например, дробь "тысяча сто семьдесят четыре тысячи четыреста десятых". Её тоже можно упростить. Для этого необходимо сократить её на самое большое из чисел, на которые делятся одновременно и числитель, и знаменатель. Но что это за число? Сложно сказать. В таких случаях мы можем сокращать дробь в несколько этапов. Очевидно, что и 1170, и 4410 делятся на 2. Вот и делим... Получаем: 585 и 2205. Видно, что эти оба числа делятся на 5. Делим... Осталось 117 и 441. Уже дробь выглядит проще. Но и это еще не все. Оба этих числа делятся на три. И получится: 39 и 147... И еще раз можно поделить на 3... В итоге получили "тринадцать сорок девятых". Больше сокращать не можем.
Теперь смотрите: мы разделили и числитель, и знаменатель дроби "тысяча сто семьдесят четыре тысячи четыреста десятых" сначала на два, затем на пять, а потом на 3 и еще раз на 3. И получили дробь "тринадцать сорок девятых". Но два умножить на пять умножить на три и умножить на три - это 90. И если бы мы сразу нашу дробь сократили на 90, то получили бы "тринадцать сорок девятых". Но мы же не знали, что 90 и есть то самое большое число, на которое делится одновременно и числитель и знаменатель нашей дроби... Таким образом, дробь можно либо сразу сократить на самое большое из возможных чисел, либо постепенно сокращать несколько раз, пока это возможно.
Второй вариант - это запасной выход для случая, когда мы не знаем самого большого числа, на которое делится и числитель, и знаменатель одновременно. Но иногда бывает сложно сказать, делится ли числитель и знаменатель хоть на какое-то общее число. Вот, например, когда я сказал, что и 117, и 441 делятся на 3, было ли для вас этот момент так же очевиден? Если нет, значит вы забыли признаки делимости. Сейчас мы их вспомним, и у вас с этим проблем не будет:
Итак, любое число делится нацело на 2, если последняя цифра этого числа делится на 2 (то есть, если число четное);
Любое число делится нацело на 3, если сумма цифр данного числа делится на 3 (например, число 137961 делится на три, так как 1+3+7+9+6+1=27, а 27, знаем из таблицы умножения, делится на три);
Любое число делится нацело на 4 - если число, состоящее из двух последних цифр, делится на 4, или эти две цифры - нули (например, 13516делится на 4, так как 16 делится на 4; или же 12500 - так же делится на 4, так как две последние цифры нули);
Любое число делится нацело на 5, если число заканчивается на 5 или 0 (здесь все понятно);
Любое число делится нацело на 6, если число делится одновременно на 3 (по сумме цифр) и на 2 (по последней цифре);
И любое число делится нацело на 9, если сумма цифр делится на 9 (аналогично признаку делимости на 3).
Запомните эти признаки, и тогда с сокращением дробей у вас не будет никаких проблем!
Ну а теперь давайте на примере закрепим все то, о чем мы сейчас говорили.
Например, нам необходимо сократить дробь "сто шестьдесят одна сорок вторая". То что эта дробь неправильная пусть вас не пугает; помните, мы говорили, что все действия с правильными, а также неправильными дробями выполняются одинаково.
Итак, сказать сразу на какое самое большое число делится и 161, и 42 сложно. Поэтому начнем по порядку. На что делится 161? Хотя постойте. Зачем нам перебирать все числа, на которые делится 161? Гораздо проще начать с меньшего числа - сорока двух. Ведь, если сорок два на какое-то число не делится, то зачем проверять, делится ли на него 161? Отлично. Поэтому начинаем с сорока двух. Сразу видим, что оно делится на 2, но на два не делится 161. Идем дальше. 42 делится на 3, так как 4+2=6, а 6 делится на 3. Но 161 не делится на 3. Дальше. 42 не делится на 4, не делится на 5, но делится на 6. А 161? Оно не делится на 6. Далее: 42 делится на 7 (это мы знаем из таблицы умножения) и получится 6. А вот 161 на 7 делится? Поскольку признака деления на семь мы не знаем, то будем проверять. Делим в столбик 161 на 7... Берем по 2. 16-14=2... и 1 сносим... берем по 3... ноль... получили 23... Таким образом, сократили нашу дробь на 7 и получили дробь "двадцать три шестых". Её уже ни на что сократить не получится.
Преобразуем эту дробь в смешанное число.
Двадцать три разделим на шесть. Получим 3 целых и 5 в остатке. То есть "три целых пять шестых". Вот и всё.
