Неравномерным считается движение с изменяющейся скоростью. Скорость может изменяться по направлению. Можно заключить, что любое движение НЕ по прямой траектории является неравномерным. Например, движение тела по окружности, движение тела брошенного вдаль и др.

Скорость может изменяться по численному значению. Такое движение тоже будет неравномерным. Особенный случай такого движения - равноускоренное движение.

Иногда встречается неравномерное движение, которое состоит из чередования различного вида движений, например, сначала автобус разгоняется (движение равноускоренное), потом какое-то время движется равномерно, а потом останавливается.

Мгновенная скорость

Охарактеризовать неравномерное движение можно лишь скоростью. Но скорость всегда изменяется! Поэтому можно говорить лишь о скорости в данное мгновение времени. Путешествуя на машине спидометр ежесекундно демонстрирует вам мгновенную скорость движения. Но время при этом надо уменьшить не до секунды, а рассматривать гораздо меньший промежуток времени!

Средняя скорость

Что же такое средняя скорость? Неверно думать, что необходимо сложить все мгновенные скорости и разделить на их количество. Это самое распространенное заблуждение о средней скорости! Средняя скорость - это весь путь разделить на затраченное время . И никакими другими способами она не определяется. Если рассмотреть движение автомобиля, можно оценить его средние скорости на первой половине пути, на второй, на всем пути. Средние скорости могут быть одинаковыми, а могут быть различными на этих участках.

У средних величин рисуют сверху горизонтальную черту.

Средняя скорость перемещения. Средняя путевая скорость

Если движение тела не является прямолинейным, то пройденный телом путь будет больше, чем его перемещение. В этом случае средняя скорость перемещения отличается от средней путевой скорости. Путевая скорость - скаляр .

Главное запомнить

1) Определение и виды неравномерного движения;
2) Различие средней и мгновенной скоростей;
3) Правило нахождения средней скорости движения

Часто требуется решить задачу, где весь путь разбит на равные участки, даны средние скорости на каждом участке, требуется найти среднюю скорость движения на всем пути. Неверное решение будет, если сложить средние скорости и разделить на их количество. Ниже выводится формула, которую можно использовать при решении подобных задач.

Мгновенную скорость можно определить с помощью графика движения. Мгновенная скорость тела в любой точке на графике определяется наклоном касательной к кривой в соответствующей точке. Мгновенная скорость - тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Упражнения

Во время езды на автомобиле через каждую минуту снимались показания спидометра. Можно ли по этим данным определить среднюю скорость движения автомобиля?

Нельзя, так как в общем случае величина средней скорости не равна среднему арифметическому значению величин мгновенных скоростей. А путь и время не даны.

Какую скорость переменного движения показывает спидометр автомобиля?

Близкую к мгновенной. Близкую, так как промежуток времени должен быть бесконечно мал, а при снятии показаний со спидометра так о времени судить нельзя.

В каком случае мгновенная и средняя скорости равны между собой? Почему?

При равномерном движении. Потому что скорость не изменяется.

Скорость движения молотка при ударе равна 8м/с. Какая это скорость: средняя или мгновенная?

Мы сделали попытку свести неравномерное движение к равномерному и для этого ввели среднюю скорость движения. Но это нам не помогло: зная среднюю скорость, нельзя решать самую главную задачу механики - определять положение тела в любой момент времени. Можно ли каким-нибудь другим способом свести неравномерное движение к равномерному?

Этого, оказывается, сделать нельзя, потому что механическое движение - это процесс непрерывный. Непрерывность движения состоит в том, что если, например, тело (или точка), двигаясь прямолинейно с возрастающей скоростью, перешло из точки А в точку В, то оно непременно должно побывать во всех промежуточных точках, лежащих между А и В, без всяких пропусков. Но это еще не все. Предположим, что, подходя к точке А, тело двигалось равномерно со скоростью 5 м/сек, а после прохождения точки В оно двигалось тоже равномерно, но со скоростью 30 м/сек. При этом на прохождение участка АВ тело потратило 15 сек. Следовательно, на отрезке АВ скорость тела за 15 сек изменилась на 25 м/сек. Но так же как тело при своем движении не могло миновать ни одну из точек на его пути, его скорость должна была принять все значения скорости между 5 и 30 м/сек. Тоже без всяких пропусков! В этом и состоит непрерывность механического движения: ни координаты тела, ни его скорость не могут изменяться скачками. Отсюда можно сделать очень важный вывод. Различных значений скорости в интервале от 5 до 30 м/сек имеется бесчисленное множество (в математике говорят, бесконечно много значений). Но между точками А и В имеется и бесчисленное множество (бесконечно много!) точек, а 15-секундный интервал времени, в течение которого тело переместилось из точки А в точку В, состоит из бесчисленного множества промежутков времени (время тоже течет без скачков!).

Следовательно, в каждой точке траектории движения и в каждый момент времени тело обладало определенной скоростью.

Скорость, которую имеет тело в данный момент времени и в данной точке траектории, называют мгновенной скоростью.

При равномерном прямолинейном движении скорость тела определяется отношением его перемещения к промежутку времени, за который совершено это перемещение. Что же означает скорость в данной точке или в данный момент времени?

Допустим, что некоторое тело (как всегда, мы в действительности имеем в виду какую-то определенную точку этого тела) движется прямолинейно, но не равномерно. Как вычислить его мгновенную скорость в некоторой точке А его траектории? Выделим небольшом участок на этой траектории, включающий точку А (рис. 38). Малое перемещение тела на этом участке обозначим через

а малый промежуток времени, в течение которого оно совершено, через Разделив на мы получим среднюю скорость на этом участке: ведь скорость изменяется непрерывно и в разных местах участка 1 она различна.

Уменьшим теперь длину участка 1. Выберем участок 2 (см. рис. 38), тоже включающий в себя точку А. На этом меньшем участке перемещение равно и проходит его тело за промежуток времени Ясно, что на участке 2 скорость тела успевает измениться на меньшую величину. Но отношение дает нам и для этого меньшего участка все же среднюю скорость. Еще меньше изменение скорости на протяжении участка 3 (также включающего в себя точку А), меньшего, чем участки 1 и 2, хотя, разделив перемещение на промежуток времени мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории. Будем постепенно уменьшать длину участка, а вместе с ним и промежуток времени, за который тело проходит этот участок. В конце концов мы стянем участок траектории, прилегающей к точке А, всамую точку А, а промежуток времени - в момент времени. Тогда-то средняя скорость и станет мгновенной скоростью, потому что на достаточно малом участке изменение скорости будет настолько мало, что его можно не учитывать, значит, можно считать, что скорость не изменяется.

Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению достаточно малого перемещения на малом участке траектории, прилегающей к этой точке, к малому промежутку времени, в течение которого совершается это перемещение.

Понятно, что скорость равномерного прямолинейного движения - это одновременно его мгновенная и средняя скорость.

Мгновенная скорость - величина векторная. Ее направленна совпадает с направлением перемещения (движения) в данной точка Прием, к которому мы прибегли, чтобы пояснить смысл

мгновенной скорости, состоит, таким образом, в следующем. Участок траектории и время, в течение которого он проходится, мы мысленно постепенно уменьшаем до тех пор, пока участок уже нельзя отличить от точки, промежуток времени - от момента времени, а неравномерное движение - от равномерного. Таким приемом всегда пользуются, когда изучают явления, в которых играют роль какие-нибудь непрерывно изменяющиеся величины.

Нам остается теперь выяснить, что необходимо знать для нахождения мгновенной скорости тела в любой точке траектории и в любой момент времени.

Мгновенная скорость движения.

Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна x(t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе.

Поставим задачу: по известной зависимости x(t) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью ). Если зависимость х(t) линейна, ответ прост: в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее.

Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден Эту скорость легко найти, сделав в момент времени t 0 фотоснимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t). Чтобы найти скорость v мгн (t 0), зная х(t), на уроках физики вы поступали следующим образом

Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Δt| от t 0 до t 0 + Δt следующая:

Как мы предположили, тело движется плавно. Поэтому естественно полагать: если?t очень мало, то за этот промежуток времени скорость практически не меняется. Но тогда средняя скорость (на этом промежутке) практически не отличается от значения v мгн (t 0), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти v ср (Δt) и посмотреть, к какому значению оно близко, если считать, что Δt практически не отличается от нуля.

Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью V 0 . Высота его в момент t находится по известной формуле

1) Найдем сначала Δh:

3) Будем теперь уменьшать Δt, приближая его к нулю. Для краткости говорят, что Δt стремится к нулю. Это записывается так: Δt → 0 Как легко понять, в этом случае значение -gΔt/2 тоже стремится к нулю, т. е.

А поскольку величины V 0 и –gt 0 , а значит, и V 0 -gt 0 постоянны, из формулы (1) получаем:

Итак, мгновенная скорость точки в момент времени t 0 находится по формуле

Уменьшая неограниченно промежуток времени t, за который произошло перемещение м. т. в пространстве в пределе, когда t  0, получим мгновенную скорость, т. е.

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения радиус-вектора м. т. к тому промежутку времени, за которое это приращение произошло, когда  t  0 или равен первой производной радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории в данной точке (рис. 9).

Действительно, при t  0, когда точка М 2 приближается к М 1 , хорда (секущая) , сближается с длиной отрезка дугиs и в пределе s = , а секущая переходит в касательную. Это наглядно подтверждается опытами. Например, искры при заточке инструмента всегда направлены по касательной к точильному кругу. Поскольку, скорость – величина векторная, то модуль ее

.

В некоторых типах ускорителей (например, циклотронах и др.) частицы многократно движутся по замкнутой траектории без остановки. Следовательно, в любой точке траектории модуль вектора мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Это заключение подтверждается не только уравнением (15), но и согласуется с понятием средней скалярной скорости (формула 11). Если в уравнении (11) перейти к пределу при t  0, то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории s, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения . Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной скалярной скорости

совпадающее с модулем вектора мгновенной скорости
,

так как r = s при t  0.

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора скорости на оси координат

v x = dx/dt, v y = dy/dt, v z = dz/dt. (16)

Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси координат выражением

, (17)

где
– единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У,Z соответственно.

По модулю

. (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемещения в пространстве по величине и направлению с течением времени. Скорость – функция времени.

1.12. Среднее ускорение

При движении тел скорость в общем случае может изменяться как по величине, так и по направлению.

Примерами такого движения являются движение Солнечной системы вокруг центра нашей Галактики или движение поезда при торможении и т. д. Равномерное движение м. т. по окружности является примером, когда ее скорость изменяется по направлению, оставаясь постоянной по величине. Если м. т. движется по некоторой траектории, изменяя величину и направление скорости, то для характеристики ее движения уже недостаточно знать перемещение и скорость, нужно знать еще и быстроту изменения скорости, т. е. ускорение .

Пусть м. т. в некоторый момент времени t 1 находится в пункте М 1 и движется со скоростью , а в момент времени t 2 – в пункте М 2 – со скоростью (рис. 10).

Перенесем вектор параллельно самому себе в точку М 1 так, чтобы совпали начала векторов и.

Тогда разность векторов иесть вектор изменения (приращения) скорости за промежуток времениt = t 2 – t 1 , т. е.

. (19)

Вектор среднего ускорения равен отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.

Следовательно,

. (20)

Вектор среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости и, направлен внутрь кривизны траектории.

Одному векторному уравнению (1.20) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора среднего ускорения на оси координат

Модуль вектора среднего ускорения

. (22)

За единицу измерения ускорения в СИ принят метр на секунду в квадрате.

Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Задание	Закон движения точки по прямой задается уравнением . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.
Решение	Мгновенная скорость точки – это радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать: Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение:
Ответ	Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки м/с.

ПРИМЕР 3

Задание	Тело движется по прямой так, что его координата (в метрах) изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
Решение	Найдем мгновенную скорость тела: