На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений - графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .
Тема: Функция
Урок: Функция . Графическое решение уравнений
Графическое решение уравнений основано на знании графиков функций и их свойств. Перечислим функции, графики которых мы знаем:
1) , графиком является прямая линия, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку на оси ординат. Рассмотрим пример: у=1:
При различных значениях мы получаем семейство прямых параллельных оси абсцисс.
2) Функция прямой пропорциональности график данной функции - это прямая, проходящая через начало координат. Рассмотрим пример:
Данные графики мы уже строили в предыдущих уроках, напомним, что для построения каждой прямой нужно выбрать точку, удовлетворяющую ей, а второй точкой взять начало координат.
Напомним роль коэффициента k: при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. Кроме того, между двумя параметрами k одного знака существует следующее соотношение: при положительных k чем он больше, тем быстрее функция возрастает, а при отрицательных - функция быстрее убывает при больших значениях k по модулю.
3) Линейная функция . При - получаем точку пересечения с осью ординат и все прямые такого вида проходят через точку (0; m). Кроме того, при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. И конечно величина k влияет на скорость изменения значения функции.
4). Графиком данной функции является парабола.
Рассмотрим примеры.
Пример 1 - графически решить уравнение:
Функции подобного вида мы не знаем, поэтому нужно преобразить заданное уравнение, чтобы работать с известными функциями:
Мы получили в обоих частях уравнения знакомые функции:
Построим графики функций:
Графики имеют две точки пересечения: (-1; 1); (2; 4)
Проверим, правильно ли найдено решение, подставим координаты в уравнение:
Первая точка найдена правильно.
, 
, , , , ,
Вторая точка также найдена верно.
Итак, решениями уравнения являются и
Поступаем аналогично предыдущему примеру: преобразуем заданное уравнение до известных нам функций, построим их графики, найдем токи пересечения и отсюда укажем решения.
Получаем две функции:
Построим графики:
Данные графики не имеют точек пересечения, значит заданное уравнение не имеет решений
Вывод: в данном уроке мы провели обзор известных нам функций и их графиков, вспомнили их свойства и рассмотрели графический способ решения уравнений.
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 494, ст.110;
Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 495, ст.110;
Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 496, ст.110;
На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений - графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .
Тема: Функция
Урок: Функция . Графическое решение уравнений
Графическое решение уравнений основано на знании графиков функций и их свойств. Перечислим функции, графики которых мы знаем:
1) , графиком является прямая линия, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку на оси ординат. Рассмотрим пример: у=1:
При различных значениях мы получаем семейство прямых параллельных оси абсцисс.
2) Функция прямой пропорциональности график данной функции - это прямая, проходящая через начало координат. Рассмотрим пример:
Данные графики мы уже строили в предыдущих уроках, напомним, что для построения каждой прямой нужно выбрать точку, удовлетворяющую ей, а второй точкой взять начало координат.
Напомним роль коэффициента k: при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. Кроме того, между двумя параметрами k одного знака существует следующее соотношение: при положительных k чем он больше, тем быстрее функция возрастает, а при отрицательных - функция быстрее убывает при больших значениях k по модулю.
3) Линейная функция . При - получаем точку пересечения с осью ординат и все прямые такого вида проходят через точку (0; m). Кроме того, при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. И конечно величина k влияет на скорость изменения значения функции.
4). Графиком данной функции является парабола.
Рассмотрим примеры.
Пример 1 - графически решить уравнение:
Функции подобного вида мы не знаем, поэтому нужно преобразить заданное уравнение, чтобы работать с известными функциями:
Мы получили в обоих частях уравнения знакомые функции:
Построим графики функций:
Графики имеют две точки пересечения: (-1; 1); (2; 4)
Проверим, правильно ли найдено решение, подставим координаты в уравнение:
Первая точка найдена правильно.
, , , , , ,
Вторая точка также найдена верно.
Итак, решениями уравнения являются и
Поступаем аналогично предыдущему примеру: преобразуем заданное уравнение до известных нам функций, построим их графики, найдем токи пересечения и отсюда укажем решения.
Получаем две функции:
Построим графики:
Данные графики не имеют точек пересечения, значит заданное уравнение не имеет решений
Вывод: в данном уроке мы провели обзор известных нам функций и их графиков, вспомнили их свойства и рассмотрели графический способ решения уравнений.
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 494, ст.110;
Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 495, ст.110;
Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 496, ст.110;
С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а . Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.
Пример.
Решить уравнение х 2 - 2х - 3 = 0.
Решение.
I способ
. Построим график функции у = х 2 - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:
1) Имеем: а = 1, b = -2, х 0 = = 1, у 0 = f(1)= 1 2 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.
2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.
Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Корнями уравнения х 2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х 1 = - 1, х 2 — 3.
II способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у — х 2 и у = 2х + 3 (рис. 69). Они пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х 1 = - 1, х 2 — 3.
III способ . Преобразуем уравнение к виду х 2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = - 1, х 2 = 3.
IV способ.
Преобразуем уравнение к виду х 2 -2х 4-1-4 = 0
и далее
х 2 - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4.
Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1) 2 и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = -1, х 2 = 3.
V способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим
Построим в одной системе координат гиперболу и прямую у = х - 2 (рис. 72).
Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х 1 = - 1, х 2 = 3.
Итак, квадратное уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.
I способ. Строят график функции у точки его пересечения с осью х.
II способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 = -bх - с, строят параболу у = ах 2 и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).
III способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 + с = - bх,строят параболу у — ах 2 + с и прямую у = -bх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.
IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду
Строят параболу у = а (х + I) 2 и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.
V способ. Преобразуют уравнение к виду
Строят гиперболу (это — гипербола при условии, что ) и прямую у = — ах — b; находят точки их пересечения.
Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах 2 + bх + с = 0, а пятый — только к тем, у которых с . На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен).
Замечание
. Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы
сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х 2 - х - 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в
рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х 2 = х + 3, построим параболу у = х 2 и
прямую у = х + 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 73), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа
сказать не можем — точки А и В имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение
х 2 - 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х 2 — 95 = 16х. Здесь надо построить параболу
у = х 2 - 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х 2 надо опустить на 95 клеток вниз.
Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтем это в далнейшем.
