Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателей (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей. Правило . Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше). Например , сравнить дроби:
Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой.
Правило . Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби. Правильная дробь по определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.
Правило . Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.
Например , сравнить дроби:
Аналогично сравнению натуральных чисел на числовой оси большая дробь стоит правее меньшей дроби.
Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.
В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.
Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).
Например, сравнить дроби:
Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).
Например, сравнить дроби:
Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой
Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.
Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.
Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.
Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим - меньшая. Самое сложное - это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше!
Шаги
-
Узнайте, какие у дробей знаменатели - одинаковые или нет. Знаменатель - это число под дробной линией, внизу, а числитель - вверху. Например, у дроби 5/7 и 9/13 не одинаковые знаменатели. Вам нужно привести их к одному знаменателю.
- Если знаменатели у дробей одинаковые, тогда вам нужно всего лишь сравнить числители, чтобы узнать, какая дробь больше.
-
Найдите общий знаменатель. Чтобы сравнить дроби, прежде всего нужно найти общий знаменатель. Это нужно для сравнения, а также для проведения математических действий с дробями, сложения, вычитания и так далее. В случае сложения или вычитания необходимо искать наименьший общий знаменатель . Однако в данном случае (сравнение дробей) можно лишь умножить знаменатели обеих дробей, и получившееся число будет общим знаменателем. Помните, этот способ нахождения общего знаменателя работает ТОЛЬКО при сравнении дробей (а не сложении, вычитании, и так далее)
- 7 x 13 = 91, новый общий знаменатель будет 91.
-
Измените числители дробей. Когда вы найдете общий знаменатель, в данном случае это 91, вам нужно будет изменить числители, чтобы значение дроби осталось тем же. Для этого нужно умножить числители одной дроби на знаменатель второй, а числитель второй на знаменатель первой. Вот так:
- В начальной дроби 5/7 мы умножили 7 на 13 и получили 91, теперь надо умножить 5 на 13, чтобы получить новый числитель. 5/7 x 13/13 = 65/91.
- В дроби 9/13 мы умножили 13 на 7, чтобы получить новый знаменатель 91, теперь умножаем 9 на 7 и получаем новый числитель. 9 x 7 = 63, так что наша новая дробь выглядит так 63/91.
В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.
Для начала напомню определение равенства дробей:
Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .
- 5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
- 3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.
Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:
- Дробь a /b больше, чем дробь c /d ;
- Дробь a /b меньше, чем дробь c /d .
Дробь a /b называется большей, чем дробь c /d , если a /b − c /d > 0.
Дробь x /y называется меньшей, чем дробь s /t , если x /y − s /t < 0.
Обозначение:
Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:
- Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
- Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.
Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это - галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.
Задача. Сравнить числа:
Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:
В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей » - он совсем легкий.
Сравнение десятичных дробей
В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать - достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей » - это также займет буквально пару минут.
Положительная десятичная дробь X больше положительной десятичной дроби Y , если в ней найдется такой десятичный разряд, что:
- Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;
- Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.
- 12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий - больше (2 > 1);
- 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).
Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.
Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:
- 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
- 2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.
Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.
Задача. Сравните дроби:
- 0,029 ∨ 0,007;
- 14,045 ∨ 15,5;
- 0,00003 ∨ 0,0000099;
- 1700,1 ∨ 0,99501.
По определению имеем:
- 0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
- 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
- 0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй - 0. Очевидно, 3 > 0;
- 1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 - различие обнаружено в первом же разряде.
К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа . В общем же случае алгоритм работы следующий:
- Положительная дробь всегда больше отрицательной;
- Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
- Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.
Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры - и все станет понятно.
Задача. Сравните дроби:
- 0,0027 ∨ 0,0072;
- −0,192 ∨ −0,39;
- 0,15 ∨ −11,3;
- 19,032 ∨ 0,0919295;
- −750 ∨ −1,45.
- 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
- −0,192 > −0,39. Дроби отрицательные, 2 разряд разный. 1 < 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
- 0,15 > −11,3. Положительное число всегда больше отрицательного;
- 19,032 > 0,091. Достаточно вторую дробь переписать в виде 00,091, чтобы увидеть, что различие возникает уже в 1 разряде;
- −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 > 001,45. Различие - в первом же разряде.
Задачи урока:
- Обучающие: научить сравнивать обыкновенные дроби различных видов, используя различные приемы;
- Развивающие: развитие основных приемов мыслительной деятельности, обобщения сравнения, выделение главного; развитие памяти, речи.
- Воспитательные: учиться слушать друг друга, воспитание взаимовыручки, культуры общения и поведения.
Этапы урока:
1. Организационный.
Начнем урок словами французского писателя А.Франса: “Учиться можно весело….Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом”.
Последуем этому совету, постараемся быть внимательными, будем поглощать знания с большим желанием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем.
2. Актуализация знаний учащихся.
1.)Фронтальная устная работа учащихся.
Цель: повторить пройденный материал, требующийся при изучении нового:
А) правильные и неправильные дроби;
Б) приведение дробей к новому знаменателю;
В) нахождение наименьшего общего знаменателя;
(Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют их в наличии на каждом уроке. На них пишут ответы фламастером, а за тем ненужная информация стирается.)
Задания для устной работы.
1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки:
А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
2. Привести дроби к новому знаменателю 30:
1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.
Найти наименьший общий знаменатель дробей:
1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2.
2.) Игровая ситуация.
Ребята, наш знакомый клоун (учащиеся познакомились с ним в начале учебного года) попросили меня помочь решить ему задачу. Но я считаю, что вы, ребята, сможете без меня помочь нашему другу. А задача следующая.
“Сравнить дроби:
а) 1/2 и 1/6;
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 12/7 и 4/7;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
и) 7/7 и 1.”
Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должны научиться?
Цель урока, задачи (учащиеся формулируют самостоятельно).
Учитель помогает им, задавая вопросы:
а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить?
б) какой инструмент для сравнения дробей нам необходим?
3. Ребята в группах (в постоянных разноуровневых).
Каждой группе выдается задание и инструкция к его выполнению.
Первая группа: Сравнить смешанные дроби:
а) 1 1/2 и 2 5/6;
б) 3 1/2 и 3 4/5
и вывести правило равнения смешанных дробей с одинаковыми и с разными целыми частями.
Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч)
- сравните целые части дробей и сделайте вывод;
- сравните дробные части (правило сравнения дробных частей не выводить);
- составьте правило – алгоритм:
Вторая группа: Сравнить дроби с разными знаменателями и разными числителями. (использовать числовой луч)
а) 6/7 и 9/14;
б) 5/11 и 1/22
Инструкция
- Сравните знаменатели
- Подумайте, нельзя ли привести дроби к общему знаменателю
- Правило начните со слов: “Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо…”
Третья группа: Сравнение дробей с единицей.
а)2/3 и 1;
б) 8/7 и 1;
в)10/10 и 1 и сформулировать правило.
Инструкция
Рассмотрите все случаи: (используйте числовой луч)
а) Если числитель дроби равен знаменателю, ………;
б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………;
в) Если числитель дроби больше знаменателя,………. .
Сформулируйте правило.
Четвертая группа: Сравните дроби:
а) 5/8 и 3/8;
б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковым знаменателем.
Инструкция
Используйте числовой луч.
Сравните числители и сделайте вывод, начиная словами: “Из двух дробей с одинаковыми знаменателями……”.
Пятая группа: Сравните дроби:
а) 1/6 и 1/3;
б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:
0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__
Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Инструкция
Сравните знаменатели и сделайте вывод, начиная со слов:
“Из двух дробей с одинаковыми числителями………..”.
Шестая группа: Сравните дроби:
а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч
0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__
Сформулируйте правило сравнения правильных и неправильных дробей.
Инструкция.
Подумайте, какая дробь всегда больше, правильная или неправильная.
4. Обсуждение выводов, сделанных в группах.
Слово каждой группе. Формулировка правил учащихся и сравнение их с эталонами соответствующих правил. Далее выдаются распечатки правила сравнения различных видов обыкновенных дробей каждому учащемуся.
5. Возвращаемся к задаче, поставленной в начале урока. (Решаем задачу клоуна вместе).
6. Работа в тетрадях. Используя правила сравнения дробей, учащиеся под руководством учителя сравнивают дроби:
а) 8/13 и 8/25;
б)11/42 и 3/42;
в)7/5 и 1/5;
г) 18/21и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5 ;
е) 5 1/2 и 5 4/3;
(возможно приглашение ученика к доске).
7. Учащимся предлагается выполнить тест по сравнению дробей на два варианта.
1 вариант.
1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12
а) 1/8 > 1/12;
б) 1/8 <1/12;
в) 1/8=1/12
2) Что больше: 5/13 или 7/13?
а) 5/13;
б) 7/13;
в) равны
3) Что меньше: 2\3 или 4/6?
а) 2/3;
б) 4/6;
в) равны
4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7?
а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7
5) Какая из дробей больше 1: ?; 7/8; 4/3?
а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3
6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9
а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9
2 вариант.
1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10
а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10
2) Что больше: 10/12или1/12?
а) равны;
б) 10/12;
в) 1/12
3) Что меньше: 3/5 или 1/10?
а) 3/5;
б) 1/10;
в) равны
4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16?
а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16
5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8 ;11/12 ?
а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12
6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3
а) 3 1/4=3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4 < 3 2/3
Ответы к тесту:
1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а
2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в
8. Еще раз возвращаемся к цели урока.
Проверяем правила сравнения и даем дифференцированное домашнее задание:
1,2,3 группы – придумать на каждое правило сравнение по два примера и решить их.
4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника).