Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби »)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.
Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.
Периодическая десятичная дробь - это любая десятичная дробь, у которой:
- Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
- Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.
Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе - периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.
Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:
Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.
Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом - в настоящем решении так делать не обязательно.
Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.
Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа . Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить - см. урок « ».
Переход к периодической десятичной дроби
Рассмотрим обыкновенную дробь вида a /b . Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:
- В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным - см. урок «Десятичные дроби ». Такие нас не интересуют;
- В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.
Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».
При этом будет происходить следующее:
- Сначала разделится целая часть , если она есть;
- Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
- Через некоторое время цифры начнут повторяться .
Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди - непериодической.
Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:
Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:
Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 ... = 1,7(3).
В итоге получается дробь: 0,5833 ... = 0,58(3).
Записываем в нормальном виде: 4,0909 ... = 4,(09).
Получаем дробь: 0,4141 ... = 0,(41).
Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной
Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc (a 1 b 1 c 1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:
- Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k ;
- Найдите значение выражения X · 10 k . Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо - см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »;
- Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь ;
- В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.
Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 ...
В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10 k = 10 1 = 10. Имеем:
10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...
Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:
10X
− X
= 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X
= 87;
X
= 87/9 = 29/3.
Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 ...
Период k = 2, поэтому умножаем все на 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:
100X
− X
= 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X
= 3207;
X
= 3207/99 = 1069/33.
Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:
Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;
10X
= 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X
− X
= 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X
= 11/4;
X
= (11/4) : 9 = 11/36.
Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:
k
= 4 ⇒ 10 k
= 10 4 = 10 000;
10 000X
= 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X
− X
= 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X
= 2475;
X
= 2475: 9999 = 25/101.
В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби , а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.
Навигация по странице.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обозначим последовательность, в которой мы будем разбираться с переводом обыкновенных дробей в десятичные дроби .
Сначала мы рассмотрим, как обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, 1 000, … представить в виде десятичных дробей . Это объясняется тем, что десятичные дроби по сути являются компактной формой записи обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … .
После этого мы пойдем дальше и покажем, как любую обыкновенную дробь (не только со знаменателями 10, 100, … ) записать в виде десятичной дроби. При таком обращении обыкновенных дробей получаются как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические десятичные дроби.
Теперь обо всем по порядку.
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби
Некоторые правильные обыкновенные дроби перед переводом в десятичные дроби нуждаются в «предварительной подготовке». Это касается обыкновенных дробей, количество цифр в числителе которых меньше, чем количество нулей в знаменателе. Например, обыкновенную дробь 2/100 нужно предварительно подготовить к переводу в десятичную дробь, а дробь 9/10 в подготовке не нуждается.
«Предварительная подготовка» правильных обыкновенных дробей к переводу в десятичные дроби заключается в дописывании слева в числителе такого количества нулей, чтобы там общее количество цифр стало равно количеству нулей в знаменателе. Например, дробь после дописывания нулей будет иметь вид .
После подготовки правильной обыкновенной дроби можно приступать к ее обращению в десятичную дробь.
Дадим правило перевода правильной обыкновенной дроби со знаменателем 10, или 100, или 1 000, … в десятичную дробь . Оно состоит из трех шагов:
- записываем 0 ;
- после него ставим десятичную запятую;
- записываем число из числителя (вместе с дописанными нулями, если мы их дописывали).
Рассмотрим применение этого правила при решении примеров.
Пример.
Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100 в десятичную.
Решение.
В знаменателе находится число 100 , в записи которого два нуля. В числителе находится число 37 , в его записи две цифры, следовательно, эта дробь не нуждается в подготовке к переводу в десятичную дробь.
Теперь записываем 0 , ставим десятичную запятую, и записываем число 37 из числителя, при этом получаем десятичную дробь 0,37 .
Ответ:
0,37 .
Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера.
Пример.
Запишите правильную дробь 107/10 000 000 в виде десятичной дроби.
Решение.
Количество цифр в числителе равно 3 , а количество нулей в знаменателе равно 7 , поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную. Нам нужно дописать 7-3=4 нуля слева в числителе, чтобы общее количество цифр там стало равно количеству нулей в знаменателе. Получаем .
Осталось составить нужную десятичную дробь. Для этого, во-первых, записываем 0 , во-вторых, ставим запятую, в-третьих, записываем число из числителя вместе с нулями 0000107 , в итоге имеем десятичную дробь 0,0000107 .
Ответ:
0,0000107 .
Неправильные обыкновенные дроби не нуждаются в подготовке при переводе в десятичные дроби. Следует придерживаться следующего правила перевода неправильных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, … в десятичные дроби :
- записываем число из числителя;
- отделяем десятичной запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе исходной дроби.
Разберем применение этого правила при решении примера.
Пример.
Переведите неправильную обыкновенную дробь 56 888 038 009/100 000 в десятичную дробь.
Решение.
Во-первых, записываем число из числителя 56888038009, во-вторых, отделяем десятичной запятой 5 цифр справа, так как в знаменателе исходной дроби 5 нулей. В итоге имеем десятичную дробь 568 880,38009 .
Ответ:
568 880,38009 .
Для обращения в десятичную дробь смешанного числа , знаменателем дробной части которого является число 10 , или 100 , или 1 000, … , можно выполнить перевод смешанного числа в неправильную обыкновенную дробь, после чего полученную дробь обратить в десятичную дробь. Но можно пользоваться и следующим правилом перевода смешанных чисел со знаменателем дробной части 10, или 100, или 1 000, … в десятичные дроби :
- при необходимости выполняем «предварительную подготовку» дробной части исходного смешанного числа, дописав необходимое количество нулей слева в числителе;
- записываем целую часть исходного смешанного числа;
- ставим десятичную запятую;
- записываем число из числителя вместе с дописанными нулями.
Рассмотрим пример, при решении которого выполним все необходимые шаги для представления смешанного числа в виде десятичной дроби.
Пример.
Переведите смешанное число в десятичную дробь.
Решение.
В знаменателе дробной части 4 нуля, в числителе же находится число 17 , состоящее из 2 цифр, поэтому, нам нужно дописать два нуля слева в числителе, чтобы там число знаков стало равно числу нулей в знаменателе. Выполнив это, в числителе окажется 0017 .
Теперь записываем целую часть исходного числа, то есть, число 23 , ставим десятичную запятую, после которой записываем число из числителя вместе с дописанными нулями, то есть, 0017 , при этом получаем искомую десятичную дробь 23,0017 .
Запишем все решение кратко: 
.
Несомненно, можно было сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби, после чего перевести ее в десятичную дробь. При таком подходе решение выглядит так: .
Ответ:
23,0017 .
Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические десятичные дроби
В десятичную дробь можно перевести не только обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100, … , но обыкновенные дроби с другими знаменателями. Сейчас мы разберемся, как это делается.
В некоторых случаях исходная обыкновенная дробь легко приводится к одному из знаменателей 10 , или 100 , или 1 000, … (смотрите приведение обыкновенной дроби к новому знаменателю), после чего не составляет труда полученную дробь представить в виде десятичной дроби. Например, очевидно, что дробь 2/5 можно привести к дроби со знаменателем 10 , для этого нужно числитель и знаменатель умножить на 2 , что даст дробь 4/10 , которая по правилам, разобранным в предыдущем пункте, легко переводится в десятичную дробь 0,4 .
В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.
Для обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь выполняется деление числителя дроби на знаменатель, числитель предварительно заменяется равной ему десятичной дробью с любым количеством нулей после десятичной запятой (об этом мы говорили в разделе равные и неравные десятичные дроби). При этом деление выполняется так же, как деление столбиком натуральных чисел , а в частном ставится десятичная запятая, когда заканчивается деление целой части делимого. Все это станет понятно из решений примеров, приведенных ниже примеров.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 621/4 в десятичную дробь.
Решение.
Число в числителе 621 представим в виде десятичной дроби, добавив десятичную запятую и несколько нулей после нее. Для начала допишем 2 цифры 0 , позже, при необходимости, мы всегда можем добавить еще нулей. Итак, имеем 621,00 .
Теперь выполним деление столбиком числа 621,000
на 4
. Первые три шага ничем не отличаются от деления столбиком натуральных чисел, после них приходим к следующей картине:
Так мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток при этом отличен от нуля. В этом случае в частном ставим десятичную запятую, и продолжаем деление столбиком, не обращая внимания на запятые:
На этом деление закончено, а в результате мы получили десятичную дробь 155,25 , которая соответствует исходной обыкновенной дроби.
Ответ:
155,25 .
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Пример.
Переведите обыкновенную дробь 21/800 в десятичную дробь.
Решение.
Для перевода данной обыкновенной дроби в десятичную, выполним деление столбиком десятичной дроби 21,000…
на 800
. Нам после первого же шага придется поставить десятичную запятую в частном, после чего продолжить деление:
Наконец-то мы получили остаток 0 , на этом перевод обыкновенной дроби 21/400 в десятичную дробь закончен, и мы пришли к десятичной дроби 0,02625 .
Ответ:
0,02625 .
Может случиться, что при делении числителя на знаменатель обыкновенной дроби мы так и не получим в остатке 0 . В этих случаях деление можно продолжать сколь угодно долго. Однако, начиная с некоторого шага, остатки начитают периодически повторяться, при этом повторяются и цифры в частном. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь . Покажем это на примере.
Пример.
Запишите обыкновенную дробь 19/44 в виде десятичной дроби.
Решение.
Для перевода обыкновенной дроби в десятичную выполним деление столбиком:
Уже сейчас видно, что при делении начали повторяться остатки 8 и 36 , при этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Таким образом, исходная обыкновенная дробь 19/44 переводится в периодическую десятичную дробь 0,43181818…=0,43(18) .
Ответ:
0,43(18) .
В заключение этого пункта разберемся, какие обыкновенные дроби можно перевести в конечные десятичные дроби, а какие – только в периодические.
Пусть перед нами находится несократимая обыкновенная дробь (если дробь сократимая, то предварительно выполняем сокращение дроби), и нам нужно выяснить, в какую десятичную дробь ее можно перевести – в конечную или периодическую.
Понятно, что если обыкновенную дробь можно привести к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … , то полученную дробь легко перевести в конечную десятичную дробь по правилам, разобранным в предыдущем пункте. Но к знаменателям 10, 100, 1 000 и т.д. приводятся далеко не все обыкновенные дроби. К таким знаменателям можно привести лишь дроби, знаменатели которых являются хотя бы одного из чисел 10, 100, … А какие числа могут быть делителями 10, 100, … ? Ответить на этот вопрос нам позволят чисел 10, 100, … , а они таковы: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Отсюда следует, что делителями 10, 100, 1 000 и т.д. могут быть лишь числа, разложения которых на простые множители содержат лишь числа 2 и (или) 5 .
Теперь мы можем сделать общий вывод о переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби:
- если в разложении знаменателя на простые множители присутствуют лишь числа 2 и (или) 5 , то эту дробь можно перевести в конечную десятичную дробь;
- если кроме двое и пятерок в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, то эта дробь переводится к бесконечную десятичную периодическую дробь.
Пример.
Не выполняя перевод обыкновенных дробей в десятичные, скажите, какие из дробей 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можно перевести в конечную десятичную дробь, а какие - только в периодическую.
Решение.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 47/20 имеет вид 20=2·2·5 . В этом разложении присутствуют лишь двойки и пятерки, поэтому эта дробь может быть приведена к одному из знаменателей 10, 100, 1 000, … (в этом примере к знаменателю 100 ), следовательно, может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12 имеет вид 12=2·2·3 . Так как оно содержит простой множитель 3 , отличный от 2 и 5 , то эта дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, но может быть переведена в периодическую десятичную дробь.
Дробь 21/56 – сократимая, после сокращения она принимает вид 3/8 . Разложение знаменателя на простые множители содержит три множителя, равных 2 , следовательно, обыкновенная дробь 3/8 , а значит и равная ей дробь 21/56 , может быть переведена в конечную десятичную дробь.
Наконец, разложение знаменателя дроби 31/17 представляет собой само 17 , следовательно, эту дробь нельзя обратить в конечную десятичную дробь, но можно обратить в бесконечную периодическую.
Ответ:
47/20 и 21/56 можно перевести в конечную десятичную дробь, а 7/12 и 31/17 - только в периодическую.
Обыкновенные дроби не переводятся в бесконечные непериодические десятичные дроби
Информация предыдущего пункта порождает вопрос: «Может ли при делении числителя дроби на знаменатель получиться бесконечная непериодическая дробь»?
Ответ: нет. При переводе обыкновенной дроби может получиться либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь. Поясним, почему это так.
Из теоремы о делимости с остатком ясно, что остаток всегда меньше делителя, то есть, если мы выполняем деление некоторого целого числа на целое число q , то остатком может быть лишь одно из чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Отсюда следует, что после завершения деления столбиком целой части числителя обыкновенной дроби на знаменатель q , не более чем через q шагов возникнет одна из двух следующих ситуаций:
- либо мы получим остаток 0 , на этом деление закончится, и мы получим конечную десятичную дробь;
- либо мы получим остаток, который уже появлялся ранее, после этого остатки начнут повторяться как в предыдущем примере (так как при делении равных чисел на q получаются равные остатки, что следует из уже упомянутой теоремы о делимости), так будет получена бесконечная периодическая десятичная дробь.
Других вариантов быть не может, следовательно, при обращении обыкновенной дроби в десятичную дробь не может получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Из приведенных в этом пункте рассуждений также следует, что длина периода десятичной дроби всегда меньше, чем значение знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби
Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби
Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь состоит из трех шагов:
- во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
- во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
- в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.
Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Обратите десятичную дробь 3,025 в обыкновенную дробь.
Решение.
Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025 . В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025 .
В знаменатель записываем цифру 1 и справа к ней дописываем 3 нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3 цифры.
Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000
. Эту дробь можно сократить на 25
, получаем 
.
Ответ:
.
Пример.
Выполните перевод десятичной дроби 0,0017 в обыкновенную дробь.
Решение.
Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017 , отбросив нули слева получаем число 17 , которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.
В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4 цифры.
В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000 . Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.
Ответ:
.
Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число :
- число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
- в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
- в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1 , к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
- при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.
Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.
Пример.
Представьте десятичную дробь 152,06005 в виде смешанного числа
Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.
Записать данное число в виде десятичной дроби.
Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.
В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.
Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.
Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».
8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».
25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».
Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.
Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.
В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.
В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.
В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.
Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.
Записать в виде десятичной дроби числа:
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Записать в виде бесконечной периодической дроби числа.
Что если они знают теорию рядов, то значит без неё никаких метаматических понятий вводить нельзя. Более того, эти люди полагают, что тот, кто не использует её повсеместно, - невежда. Оставим воззрения этих людей на их совести. Давайте лучше разберёмся с тем, что такое бесконечная периодическая дробь и как с ней быть нам, необразованным людям, не знающим пределов.
Поделим 237 на 5. Нет, не нужно запускать «Калькулятор». Давайте лучше вспомним среднюю (или даже начальную?) школу и просто поделим столбиком:
Ну как, вспомнили? Тогда можно и к делу переходить.
Понятие «дробь» в математике имеет два значения:
- Нецелое число.
- Форма записи нецелого числа.
- Простые (или вертикальные ) дроби, вроде 1/2 или 237/5.
- Десятичные дроби, например, 0,5 или 47,4.
В математике, вообще искони принят счёт десятичный, а потому и десятичные дроби удобнее простых, т. е. дробь с десятичным знаменателем (Владимир Даль. Толковый словарь живого великорусского языка. «Десять»).А раз так, то хочется всякую дробь вертикальную сделать десятичной («горизонтальной»). А для этого нужно просто-напросто числитель поделить на знаменатель. Возьмём, например, дробь 1/3 и попробуем сделать из неё десятичную.
Даже совсем необразованный заметит: сколько ни дели - не разделится: так и будут тройки до бесконечности появляться. Так и запишем: 0,33... Имеем в виду при этом «число, которое получается, когда делишь 1 на 3», или, короче, «одна третья». Естественно, что одна третья - дробь в первом смысле слова, а «1/3» и «0,33...» - дроби во втором смысле слова, то есть формы записи числа, которое находится на числовой прямой на таком расстоянии от нуля, что если трижды его отложить, получится единица.
Теперь попробуем разделить 5 на 6:
Снова запишем: 0,833... Имеем в виду «число, которое получается, когда делишь 5 на 6», или, короче, «пять шестых». Однако, тут возникает путаница: имеется ли в виду 0,83333 (и дальше тройки повторяются), или же 0,833833 (и дальше 833 повторяется). Поэтому запись с многоточием нас не устраивает: непонятно, откуда начинается повтряющаяся часть (она называется «период»). Поэтому период мы будем брать в скобки, вот так: 0,(3); 0,8(3).
0,(3) не просто равно одной третьей, это есть одна третья, ведь мы специально эту запись придумали, чтобы представлять это число в виде десятичной дроби.
Эта запись и называется бесконечной периодической дробью , или просто периодической дробью.
Всегда, когда мы делим одно число на другое, если не получается дробь конечная, то получается дробь бесконечная периодическая, то есть обязательно когда-нибудь последовательности цифр начнут повторяться. Почему это так можно понять чисто умозрительно, посмотрев внимательно на алгоритм деления столбиком:
В местах, обозначенных галочками, не могут всё время получаться разные пары чисел (потому, что таких пар в принципе конечное множество). А как только там появится такая пара, которая уже была, разность тоже будет такой же - и дальше весь процесс начнёт повторяться. Нет нужды проверять это, ведь совершенно очевидно, что при повторении тех же действий результаты будут те же.
Теперь, когда мы хорошо понимаем суть периодической дроби, давайте попробуем умножить одну треть на три. Да, получится, конечно, один, но давайте запишем эту дробь в десятичной форме и умножим столбиком (двусмыслицы из-за многоточия здесь не возникает, так как все цифры после запятой одинаковые):
И снова мы замечаем, что всё время будут после запятой появляться девятки, девятки и девятки. То есть, используя, обратно, скобочную запись, мы получим 0,(9). Поскольку мы знаем, что произведение одной трети и трёх есть единица, то 0,(9) - это такая вот причудливая форма записи единицы. Однако использовать такую форму записи нецелесообразно, ведь единица прекрасно записывается и без использования периода, вот так: 1.
Как видим, 0,(9) - это один из тех случаев, когда целое число записано в форме дроби, вроде 3/3 или 7,0. То есть, 0,(9) - это дробь лишь во втором смысле слова, но никак не в первом.
Вот так, безо всяких пределов и рядов мы разобрались с тем, что такое 0,(9) и как с ним бороться.
Но всё же вспомним о том, что на самом-то деле мы умные и изучали анализ. Действительно, трудно отрицать, что:
Но, пожалуй, никто не будет спорить и с тем, что:
Всё это, конечно, верно. Действительно, 0,(9) является и суммой приведённого ряда, и удвоенным синусом указанного угла, и натуральным логарифмом числа Эйлера.
Но ни то, ни другое, ни третье не является определением.
Утверждать, что 0,(9) - сумма бесконечного ряда 9/(10 n), при n от единицы, - это всё равно, что утверждать, что синус - это сумма бесконечного ряда Тейлора:
Это совершенно верно , и это является важнейшим фактом для вычислительной математики, но это не определение, и, что самое главное, это ничуть не приближает человека к пониманию сути синуса. Суть же синуса некоторого угла состоит в том, что это всего навсего отношение противолежащего углу катета к гипотенузе.
Дак вот, периодическая дробь - это всего навсего десятичная дробь, которая получается, когда при делении столбиком один и тот же набор цифр повторется. Анализа тут нет и в помине.
И вот тут-то возникает вопрос: откуда вообще мы взяли число 0,(9)? Что на что мы делим столбиком, чтобы его получить? Действительно, нет таких чисел, при делении которых друг на друга столбиком мы бы имели бесконечно появляющиеся девятки. Но нам же удалось получить это число, умножая столбиком 0,(3) на 3? Не совсем. Ведь умножать нужно справа налево, чтобы корректно учитывать переносы разрядов, а мы это делали слева направо, хитро воспользовавшись тем, что переносов нигде всё равно не возникает. Поэтому правомерность записи 0,(9) зависит от того, признаём ли мы правомерность такого умножения столбиком или нет.
Следовательно, можно вообще сказать, что запись 0,(9) некорректна - и в определённой степени быть правым. Однако, поскольку нотация a ,(b ) принята, то просто некрасиво отказываться от неё при b = 9; лучше определиться с тем, что такая запись означает. Так что, если мы вообще принимаем запись 0,(9), то эта запись, конечно, означает число один.
Осталось лишь добавить, что если бы мы использовали, скажем, троичную систему счисления, то при делении столбиком единицы (1 3) на тройку (10 3) получилось бы 0,1 3 (читается «ноль целых одна третья»), а при делении единицы на двойку получилось бы 0,(1) 3 .
Так что периодичность дроби-записи - это не объективная какая-то характеристика дроби-числа, а всего лишь побочный эффект использования той или иной системы счисления.
§ 114. Обращение обыкновенной дроби в десятичную.Обратить обыкновенную дробь в десятичную - это значит найти такую десятичную дробь, которая была бы равна данной обыкновенной дроби. При обращении обыкновенных дробей в десятичные мы встретимся с двумя случаями:
1) когда обыкновенные дроби могут быть обращены в десятичные точно ;
2) когда обыкновенные дроби могут быть обращены в десятичные лишь приближённо . Рассмотрим эти случаи последовательно.
1. Как обратить обыкновенную несократимую дробь в десятичную, или, иными словами, как заменить обыкновенную дробь равной ей десятичной?
В случае, когда обыкновенные дроби могут быть точно обращены в десятичные, существует два способа такого обращения.
Вспомним, как заменить одну дробь другой, равной первой, или как перейти от одной дроби к другой, не изменяя величины первой. Этим мы занимались, когда приводили дроби к общему знаменателю (§86). Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, то поступаем следующим образом: находим общий знаменатель для данных дробей, вычисляем для каждой дроби дополнительный множитель и потом умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель.
Заметив это, возьмём несократимую дробь 3 / 20 и попробуем обратить её в десятичную. Знаменатель данной дроби равен 20, а нужно привести её к другому знаменателю, который изображался бы единицей с нулями. Мы будем искать наименьший из знаменателей, выражающихся единицей с последующими нулями.
Первый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную основан на разложении знаменателя на простые множители.
Необходимо узнать, на какое число следует умножить 20, чтобы произведение выразилось единицей с нулями. Чтобы это узнать, нужно сначала вспомнить, на какие простые множители разлагаются числа, изображаемые единицей с нулями. Вот эти разложения:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Мы видим, что число, изображаемое единицей с нулями, разлагается только на двойки и пятёрки, а иных множителей в разложении нет. Кроме того, двойки и пятёрки входят в разложение в одинаковом числе. И, наконец, число тех и других множителей в отдельности равно числу нулей, стоящих после единицы в изображении данного числа.
Посмотрим теперь, как разлагается 20 на простые множители: 20 = 2 2 5. Из этого видно, что двоек в разложении числа 20 две, а пятёрок одна. Значит, если к этим множителям мы добавим одну пятёрку, то получим число, изображаемое единицей с нулями. Иными словами, для того, чтобы в знаменателе вместо числа 20 получилось число, изображаемое единицей с нулями, нужно 20 умножить на 5, а чтобы величина дроби не изменилась, нужно умножить на 5 и её числитель, т. е.
Таким образом, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно знаменатель этой обыкновенной дроби разложить на простые множители и затем уравнять в нём число двоек и пятёрок, введя в него (и, конечно, в числитель) недостающие множители в необходимом числе.
Применим этот вывод к некоторым дробям.
Обратить в десятичную дробь 3 / 50 . Знаменатель этой дроби разлагается так:
значит, в нём недостаёт одной двойки. Добавим её:
Обратить в десятичную дробь 7 / 40 .
Знаменатель этой дроби разлагается так: 40 = 2 2 2 5, т. е. в нём недостаёт двух пятёрок. Введём их в числитель и знаменатель в качестве множителей:
Из того, что изложено, нетрудно сделать вывод, какие обыкновенные дроби обращаются точно в десятичные. Совершенно очевидно, что несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой не содержит никаких иных простых множителей, кроме 2 и 5, обращается точно в десятичную. Десятичная дробь, которая получается от обращения некоторой обыкновенной, будет иметь столько десятичных знаков, сколько раз в состав знаменателя обыкновенной дроби после её сокращения входит численно преобладающий множитель 2 или 5.
Если мы возьмём дробь 9 / 40 , то, во-первых, она обратится в десятичную, потому что в состав её знаменателя входят множители 2 2 2 5, во-вторых, полученная десятичная дробь будет иметь 3 десятичных знака, потому что численно преобладающий множитель 2 входит в разложение три раза. В самом деле:
Второй способ (посредством деления числителя на знаменатель).
Пусть требуется обратить в десятичную дробь 3 / 4 . Мы знаем, что 3 / 4 есть частное от деления 3 на 4. Это частное мы можем найти, разделив 3 на 4. Сделаем это:
Таким образом, 3 / 4 = 0,75.
Ещё пример: обратить в десятичную дробь 5 / 8 .
Таким образом, 5 / 8 = 0,625.
Итак, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, достаточно разделить числитель обыкновенной дроби на её знаменатель.
2. Рассмотрим теперь второй из указанных в начале параграфа случаев, т. е. тот случай, когда обыкновенная дробь не может быть обращена в точную десятичную.
Обыкновенная несократимая дробь, знаменатель которой содержит какие-либо простые множители, отличные от 2 и 5, не может обратиться точно в десятичную. В самом деле, например, дробь 8 / 15 не может обратиться в десятичную, так как её знаменатель 15 разлагается на два множителя: 3 и 5.
Мы не можем исключить тройку из знаменателя и не можем подобрать такого целого числа, чтобы после умножения на него данного знаменателя произведение выразилось единицей с нулями.
В таких случаях можно говорить только о приближённом обращении обыкновенных дробей в десятичные.
Как это делается? Это делается посредством деления числителя обыкновенной дроби на знаменатель, т. е. в этом случае применяют второй способ обращения обыкновенной дроби в десятичную. Значит, этот способ применяется и при точном обращении и при приближённом.
Если обыкновенная дробь обращается точно в десятичную, то от деления получается конечная десятичная дробь.
Если обыкновенная дробь не обращается в точную десятичную, то от деления получается бесконечная десятичная дробь.
Так как мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-нибудь десятичном знаке, т. е. сделать приближённое деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, т. е. ограничиться десятыми долями; в случае надобности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, получив сотые доли, и т. д. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, какая при решении данной задачи необходима.
§ 115. Понятие о периодической дроби.
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Например:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Период первой из написанных выше дробей есть 3, период второй дроби 12, период третьей дроби 234. Значит, период может состоять из нескольких цифр - из одной, из двух, из трёх и т. д. Первая совокупность повторяющихся цифр называется первым периодом, вторая совокупность - вторым периодом и т. д., т. е.
Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Периодическая дробь называется чистой, если её период начинается тотчас после запятой. Значит, написанные выше периодические дроби будут чистыми. Напротив, периодическая дробь называется смешанной, если у неё между запятой и первым периодом имеется одна или несколько неповторяющихся цифр, например:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Для сокращения письма можно цифры периода писать один раз в скобках и не ставить после скобок многоточия, т. е. вместо 0,33... можно писать 0,(3); вместо 2,515151... можно писать 2,(51); вместо 0,2333... можно писать 0,2(3); вместо 0,8333... можно писать 0,8(3).
Читаются периодические дроби так:
0,(3) - 0 целых, 3 в периоде.
7,2(3) - 7 целых, 2 до периода, 3 в периоде.
5,00(17) - 5 целых, два нуля до периода, 17 в периоде.
Как возникают периодические дроби? Мы уже видели, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные может быть два случая.
Во-первых , знаменатель обыкновенной несократимой дроби не содержит никаких иных множителей, кроме 2 и 5; в этом случае обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную.
Во-вторых, знаменатель обыкновенной несократимой дроби содержит в себе какие-либо простые множители, отличные от 2 и 5; в этом случае обыкновенная дробь не обращается в конечную десятичную. В этом последнем случае при попытке обратить обыкновенную дробь в десятичную посредством деления числителя на знаменатель получается бесконечная дробь, которая всегда будет периодической.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим какой-нибудь пример. Попробуем обратить дробь- 18 / 7 в десятичную.
Мы, конечно, заранее знаем, что дробь с таким знаменателем не может обратиться в конечную десятичную, и ведём речь только о приближённом обращении. Разделим числитель 18 на знаменатель 7.
Мы получили в частном восемь десятичных знаков. Нет надобности продолжать деление дальше, потому что оно всё равно не окончится. Но отсюда понятно, что деление можно продолжать бесконечно долго и, таким образом, получать в частном новые цифры. Эти новые цифры будут возникать потому, что у нас всё время будут получаться остатки; но никакой остаток не может быть больше делителя, который у нас равен 7.
Посмотрим, какие у нас были остатки: 4; 5; 1; 3; 2; б, т. е. это были числа, меньшие 7. Очевидно, их не может быть больше шести, и при дальнейшем продолжении деления они должны будут повторяться, а вслед за ними будут повторяться и цифры частного. Приведённый выше пример подтверждает эту мысль: десятичные знаки в частном идут в таком порядке: 571428, а после этого снова появились цифры 57. Значит, у нас окончился первый период и начинается второй.
Таким образом, бесконечная десятичная дробь, получающаяся при обращении обыкновенной дроби, всегда будет периодической.
Если периодическая дробь встречается при решении какой-нибудь задачи, то она берётся с той точностью, какая требуется условием задачи (до десятой, до сотой, до тысячной и т. д.).
§ 116. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.
При решении различных задач мы встретимся с такими случаями, когда в задачу входят и обыкновенные, и десятичные дроби.
В этих случаях можно идти различными путями.
1. Обратить все дроби в десятичные. Это удобно потому, что вычисления над десятичными дробями легче, чем над обыкновенными. Например,
Обратим дроби 3 / 4 и 1 1 / 5 в десятичные:
2. Обратить все дроби в обыкновенные. Так чаще всего поступают в тех случаях, когда встречаются обыкновенные дроби, не обращающиеся в конечные десятичные.
Например, 
Обратим десятичные дроби в обыкновенные:
3. Вычисления ведут без обращения одних дробей в другие.
Это особенно удобно в тех случаях, когда в пример входят только умножение и деление. Например,
Перепишем пример так:
4. В некоторых случаях обращают все обыкновенные дроби в десятичные (даже те, которые обращаются в периодические) и находят приближённый результат. Например,
Обратим 2 / 3 в десятичную дробь, ограничившись тысячными долями.
